Starrer Rotator in der Ebene

28/04/2010 - 09:31 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo

Betrachte einen quantenmechanischen zweidimensionalen starren Rotator
mit Tràgheitsmoment I. Der Hamiltonoperator dafür lautet

H = L_32/(2I),

wo L_3 die 3. Komponente des Drehimpulses ist. Die Schrödingergleichung
für die Wellenfunktion psi(phi), wo phi die Winkelkoordinate in der
Ebene ist, lautet dann

psi''(phi) + omega2*psi(phi) = 0,

wo omega2 = 2EI/h_bar2. Dies entspricht der Bewegungsgleichung eines
einfachen harmonischen Oszillators. Warum wird nun überall in der
Literatur (zumindest in derjenigen, die ich angeschaut habe) als Lösung

psi(phi) = A*exp(i*m*phi), m in Z

hingeschrieben (nach Berücksichtigung der 2pi-Periodizitàt von psi),
obschon die Schrödingergleichung eine Differentialgleichung 2. Ordnung
ist und daher 2 Integrationskonstanten haben sollte? Warum schrànkt man
sich auf diejenigen Lösungen ein, bei denen der Real- und Imaginàrteil
die gleiche Konstante haben?

Freundliche Grüsse,
Daniel
 

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#1 Roland Franzius
28/04/2010 - 10:12 | Warnen spam
Daniel Arnold schrieb:
Hallo

Betrachte einen quantenmechanischen zweidimensionalen starren Rotator
mit Tràgheitsmoment I. Der Hamiltonoperator dafür lautet

H = L_32/(2I),

wo L_3 die 3. Komponente des Drehimpulses ist. Die Schrödingergleichung
für die Wellenfunktion psi(phi), wo phi die Winkelkoordinate in der
Ebene ist, lautet dann

psi''(phi) + omega2*psi(phi) = 0,

wo omega2 = 2EI/h_bar2. Dies entspricht der Bewegungsgleichung eines
einfachen harmonischen Oszillators. Warum wird nun überall in der
Literatur (zumindest in derjenigen, die ich angeschaut habe) als Lösung

psi(phi) = A*exp(i*m*phi), m in Z

hingeschrieben (nach Berücksichtigung der 2pi-Periodizitàt von psi),
obschon die Schrödingergleichung eine Differentialgleichung 2. Ordnung
ist und daher 2 Integrationskonstanten haben sollte? Warum schrànkt man
sich auf diejenigen Lösungen ein, bei denen der Real- und Imaginàrteil
die gleiche Konstante haben?



Topologische Quantisierung.

Die Wellenfunktion muss auf jeder geschlossenen Kurve in der
Mannigfaltigkeit stetig sein.

Damit kommen nur noch die Funktionen
sum_m a_m exp(i m phi) + b_m exp(- i m phi), omega=m ganzahlig

als Lösungen im Raum der quadratintegrablen Funktionen auf R mod 2pi in
Frage, da die Lösungen stetig bei 0=2pi oder sonst irgendeiner
Schnittstelle auf der reellen Achse zu sein haben.

Es handelt sich um das Eigenwertproblem des Operators L^2 = -d^2/phi^2
auf den (glatten) Funktionen auf dem Kreis, nicht um die Lösung von
Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen. Das ist immer nur ein
Vehikel aus der Mechanik, um sich zunàchst die vollstàndige
Lösungsklasse auch außerhalb von L^2 zu besorgen, damit man ja nichts
übersieht.


Roland Franzius

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