Stetigkeit bei zwei unabhängigen Variablen

09/02/2008 - 12:29 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

zu der folgenden Aufgabe habe ich eine Frage:
http://aerlich.ae.funpic.de/Vertaus...tungen.jpg

Ich habe den Differenzenquotienten jeweils gebildet mit dem Limes
bearbeitet, so dass tatsàchlich unterschiedliche Grenzwerte
herauskamen. Ich denke, um noch zu zeigen, dass der Satz von Schwarz
nicht anwendbar ist, muss ich zeigen, dass die Funktion bei (0,0)
unstetig ist. Aber da es sich um eine von x und y abhàngige Funktion
handelt, weiß ich noch nicht, wie es geht. Könntet ihr mir helfen?

Gruß
Alexander
 

Lesen sie die antworten

#1 Stefan Kirchner
09/02/2008 - 14:27 | Warnen spam
On Sat, 9 Feb 2008, Alexander Erlich wrote:

Hallo,

zu der folgenden Aufgabe habe ich eine Frage:
http://aerlich.ae.funpic.de/Vertaus...tungen.jpg

Ich habe den Differenzenquotienten jeweils gebildet mit dem Limes
bearbeitet, so dass tatsàchlich unterschiedliche Grenzwerte
herauskamen. Ich denke, um noch zu zeigen, dass der Satz von Schwarz
nicht anwendbar ist, muss ich zeigen, dass die Funktion bei (0,0)
unstetig ist.



Stimmt.

Aber da es sich um eine von x und y abhàngige Funktion
handelt, weiß ich noch nicht, wie es geht. Könntet ihr mir helfen?



Eine Funktion f(x,y) ist stetig in (0,0), wenn _f"ur alle_ Folgen x_n -> 0
und y_n -> 0 der Grenzwert existiert und lim n->oo f(x_n,y_n) = 0 ist.
Dabei können x_n und y_n unterschiedlich schnell gegen 0 streben, z.b.
x = 1/n und y = 1/n^2 ist erlaubt.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, die Funktion ist stetig oder nicht. Je
nachdem, welcher Fall zutrifft, gibt es zwei verschiedene Strategien.

Fall 1: Funktion ist stetig
==Dann muss man meistens die Funktion geschickt abschàtzen.
Beispiel: g(x,y)=(xy)^3/(x^2+y^2) stetig in (0,0),
denn Du kannst abschàtzen:

|g(x,y)| = |(xy)^3|/|(x^2+y^2)| = |x^3 / (x^2+y^2)| * |y^3 / (x^2+y^2)|
<= |x^3 / x^2| * |y^3 / y^2| = |x| * |y|

Egal, was für Nullfolgen x_n und y_n Du wàhlst, es gilt 0 <= |g(x_n,y_n)|
<= |x_n| * |y_n| -> 0 für n->oo


Fall 2: Funktion ist nicht stetig
==Dann genügt es zwei Folgen anzugeben, bei denen die Grenzwerte
unterschiedlich sind. Betrachte etwa die Funktion g(x,y) = y /(x^2+y^2)

Für y_n = 0, x_n = 1/n ist jedes Folgenlied 0, g(x_n,y_n) konvergiert also
gegen 0. Für y_n = 1/n, x=0 gilt hingegen g(x_n,y_n) = n, strebt also
gegen oo.

Es gibt zwei Nullfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten, die Funktion
ist unstetig.

In Deinem Beispiel weißt Du bereits, dass die Funktino unstetig ist. Es
genügt daher zwei Nullfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten anzugeben.
Eventuell ist es hilfreich, den Bruch als
x^3y / (x^2+y^2) - 4xy^3 / (x^2+y^2) zu schreiben.


Gruß Stefan

Ähnliche fragen