Stochastik: drei Würfel

27/10/2009 - 22:20 von Markus Wichmann | Report spam
Hi all,

ich habe hier ein Problem mit folgender Aufgabe:

Es werden drei Würfel geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass zwei Würfel die gleiche Zahl zeigen?

Ich hatte nun folgendes gerechnet:

Es seien A, B und C die Augenzahlen der drei Würfel, dann ist die
gesuchte Wahrscheinlichkeit

P = P(A = B) + P(A = C) + P(B = C)


Nun habe ich die Wahrscheinlichkeiten nach dem Laplace-Modell berechnet:
Bei P(A = B) gibt es für den ersten Würfel 6 günstige Möglichkeiten, für
den zweiten nur noch eine, für den dritten wieder 6. Darum löste sich
obige Gleichung zu

6 * 1 * 6 6 * 6 * 1 6 * 6 * 1
P = + +
6 * 6 * 6 6 * 6 * 6 6 * 6 * 6

Das sind insgesamt 3/6, also 1/2.

So hab ich das in die Aufgabe geschrieben und abgegeben. Heute kam das
Blatt zurück: Aufgabe falsch gelöst.

Gut, mittlerweile weiß ich auch, warum: Die Formel

P(D u E) = P(D) + P(E)

gilt nur, wenn D und E unvereinbare Ereignisse sind. Nun ist es aber
überhaupt nicht ausgeschlossen, dass sowohl das Ereignis "A = B" als
auch "A = C" eintritt. Darum jetzt die Frage: Wie hàtte ich es richtig
machen sollen?

Vielleicht so hier?

P = P((A = B) u (A = C) u (B = C))
= 1 - P((A ot= B) a (A ot= C) a (B ot= C))

öhm... nun, die drei Ereignisse sind nicht ganz unabhàngig, also kann
ich die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach multiplizieren. Also auch
nicht machbar, oder? Aber wie dann?

6*5*4
P = 1 - -- = 4/9
6*6*6


So?

Tschö,
Markus

Nur weil ein Genie nix reißt, muß ja nun nicht gleich jeder Idiot
pausieren... Bully hats ja auch geschafft.
 

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#1 Marko Renner
27/10/2009 - 22:44 | Warnen spam
Markus Wichmann schrieb:
Es werden drei Würfel geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass zwei Würfel die gleiche Zahl zeigen?


Ich nehme an, du meinst "genau zwei".

[...]

6*5*4
P = 1 - -- = 4/9
6*6*6


Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht
alle 3 verschieden sind, also mindestens 2 gleich.
Zieh davon die Wahrscheinlichkeit für alle 3 gleich
ab, und du hast es.

Marko

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