Störe meine bunten Kreise nicht !

02/12/2012 - 14:02 von Ge Punkt | Report spam
Die Kreisfrequenz ist eine physikalische Größe der Schwingungslehre. Als Formelzeichen wird der griechische Kleinbuchstabe Omega verwendet. Der Zusammenhang der Kreisfrequenz mit der Periodendauer und der Frequenz einer Schwingung ist gegeben durch:

Die Kreisfrequenz kann auch durch die Änderungsrate des Phasenwinkels beschrieben werden:

https://www.youtube.com/watch?v=Y3X2vsQtrS4

Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene (am Beispiel einer Wechselspannung ) mit dem zeitabhàngigen Argument .
Eine harmonische Schwingung làsst sich allgemein als Funktion der Kreisfrequenz beschreiben:

Sie kann, wie in der Elektrotechnik üblich, durch den Real- und Imaginàrteil eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers in der gaußschen Zahlenebene als Funktion der Kreisfrequenz dargestellt werden[1]. Der Winkel des komplexen Zeigers wird dabei als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.


Der Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ergibt sich aus der Eulerschen Formel.

Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz [Bearbeiten]
Schwingfàhige Systeme werden durch die Kennkreisfrequenz und die Eigenkreisfrequenz beschrieben. Ein ungedàmpftes frei schwingendes System schwingt mit seiner Kennkreisfrequenz , ein gedàmpftes System ohne àußere Anregung schwingt mit seiner Eigenkreisfrequenz . Die Eigenkreisfrequenz eines gedàmpften Systems ist stets kleiner als die Kennkreisfrequenz. Die Kennkreisfrequenz wird in der Mechanik auch als ungedàmpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.

Für das Beispiel eines elektrischen Schwingkreises gilt mit dem Widerstand , der Induktivitàt und der Kapazitàt für die Kennkreisfrequenz:


Für ein Federpendel mit der Federsteifigkeit , der Masse und der Dàmpfungskonstanten gilt für die Kennkreisfrequenz:


und mit der Abklingkonstante bzw. für die Eigenkreisfrequenz:

.
Weitere Beispiele siehe Torsionspendel, Wasserpendel, Fadenpendel.

komplexe Kreisfrequenz [Bearbeiten]
Aus der komplexen Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung


ergibt sich mit dem üblichen Ansatz


die Verallgemeinerung zur komplexen Kreisfrequenz mit dem Realteil und der Kreisfrequenz . Durch die komplexe Kreisfrequenz kann nicht nur eine konstante harmonische Schwingung mit dargestellt werden, sondern auch eine gedàmpfte Schwingung mit und eine angeregte Schwingung mit .[2]

Eine gedàmpfte Schwingung kann wie folgt mit der konstanten komplexen Kreisfrequenz s als komplexer Zeiger dargestellt werden:


Dabei ist die Eigenkreisfrequenz des schwingfàhigen Systems und ist gleich dem negativen Wert der Abklingkonstante: (siehe dazu den vorhergehenden Abschnitt).

Bei der Laplacetransformation hat die komplexe Kreisfrequenz eine allgemeinere Bedeutung als Variable im Bildbereich der Transformation zur Darstellung beliebiger Zeitfunktionen und Übertragungsfunktionen in der komplexen Frequenzebene („s-Ebene“).
 

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#1 Ge Punkt
02/12/2012 - 18:11 | Warnen spam
Am Sonntag, 2. Dezember 2012 14:02:51 UTC+1 schrieb Ge Punkt:
Die Kreisfrequenz ist eine physikalische Größe der Schwingungslehre. Als Formelzeichen wird der griechische Kleinbuchstabe Omega verwendet. Der Zusammenhang der Kreisfrequenz mit der Periodendauer und der Frequenz einer Schwingung ist gegeben durch:



Die Kreisfrequenz kann auch durch die Änderungsrate des Phasenwinkels beschrieben werden:



https://www.youtube.com/watch?v=Y3X2vsQtrS4



Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene (am Beispiel einer Wechselspannung ) mit dem zeitabhàngigen Argument .

Eine harmonische Schwingung làsst sich allgemein als Funktion der Kreisfrequenz beschreiben:



Sie kann, wie in der Elektrotechnik üblich, durch den Real- und Imaginàrteil eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers in der gaußschen Zahlenebene als Funktion der Kreisfrequenz dargestellt werden[1]. Der Winkel des komplexen Zeigers wird dabei als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.





Der Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ergibt sich aus der Eulerschen Formel.



Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz [Bearbeiten]

Schwingfàhige Systeme werden durch die Kennkreisfrequenz und die Eigenkreisfrequenz beschrieben. Ein ungedàmpftes frei schwingendes System schwingt mit seiner Kennkreisfrequenz , ein gedàmpftes System ohne àußere Anregung schwingt mit seiner Eigenkreisfrequenz . Die Eigenkreisfrequenz eines gedàmpften Systems ist stets kleiner als die Kennkreisfrequenz. Die Kennkreisfrequenz wird in der Mechanik auch als ungedàmpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.



Für das Beispiel eines elektrischen Schwingkreises gilt mit dem Widerstand , der Induktivitàt und der Kapazitàt für die Kennkreisfrequenz:





Für ein Federpendel mit der Federsteifigkeit , der Masse und der Dàmpfungskonstanten gilt für die Kennkreisfrequenz:





und mit der Abklingkonstante bzw. für die Eigenkreisfrequenz:



.

Weitere Beispiele siehe Torsionspendel, Wasserpendel, Fadenpendel.



komplexe Kreisfrequenz [Bearbeiten]

Aus der komplexen Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung





ergibt sich mit dem üblichen Ansatz





die Verallgemeinerung zur komplexen Kreisfrequenz mit dem Realteil und der Kreisfrequenz . Durch die komplexe Kreisfrequenz kann nicht nur eine konstante harmonische Schwingung mit dargestellt werden, sondern auch eine gedàmpfte Schwingung mit und eine angeregte Schwingung mit .[2]



Eine gedàmpfte Schwingung kann wie folgt mit der konstanten komplexen Kreisfrequenz s als komplexer Zeiger dargestellt werden:





Dabei ist die Eigenkreisfrequenz des schwingfàhigen Systems und ist gleich dem negativen Wert der Abklingkonstante: (siehe dazu den vorhergehenden Abschnitt).



Bei der Laplacetransformation hat die komplexe Kreisfrequenz eine allgemeinere Bedeutung als Variable im Bildbereich der Transformation zur Darstellung beliebiger Zeitfunktionen und Übertragungsfunktionen in der komplexen Frequenzebene („s-Ebene“).




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Der Reifen vom Superstar gestern beim Bohlen hatte 1 m Durchmesser, war 200 g schwer und drehte sich 1 mal pro Sekunde um seinen Arm.

1) Wie groß ist das Tràgheitsmoment des Reifens ?

( 4 Pkte )


2) Welche Rotationsenergie hatte er ?

( 2 Pkte )


3) Wie groß müßte die Winkelgeschwindigkeit
ungefàhr sein, damit der Plastik-Reifen zerreißt ?

( 4 Pkte )



Die Lösungen will ich bis 9. Dezember sehen.

( Denkt daran, Kinder : Ohne Abitur müßt ihr eine Werkzeugmacherlehre anfangen ! )

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