Strecke in drei zufällige Teilstrecken teilen - Überraschung

08/05/2015 - 08:38 von Brigitte | Report spam
Hallo,

ich habe in einem alten Lehrbuch eine nette Aufgabe gefunden, wo ich nicht so recht weiterkomme:

Gegeben sei eine gerade Strecke der Lànge a. Wàhle auf dieser Strecke zufàllig zwei Punkte, so dass die Strecke in 3 gerade Teilstrecken aufgeteilt wird.
Die Frage lautet: Wie wahrscheinlich ist es, dass sich die drei Teilstrecken zu einem geschlossenen Dreieck zusammenfügen lassen?

Als korrekte Antwort wird p=0.25 angegeben.

Meine Überlegungen bisher sind folgende:
Ein Dreieck ist eine geschlossene Kurve. Also stelle ich mir die Gerade a
zunàchst als ausgespannte Schnur vor. Jetzt lege ich den Endpunkt der
Schnur auf den Ausgangspunkt und fixiere die entstehende Schlaufe mit
einer Stecknadel.
Wenn ich jetzt mit Daumen und Zeigefinger in die Schlaufe fasse und unter
Spannung aufspanne, kann ich alle möglichen verschiedenen Làngen einstellen,
die ein Dreieck als Ergebnis haben.

Aber wie komme ich jetzt weiter? Ich seh's einfach nicht.
Oder hab ich mich hier mit meiner bildlichen Vorstellung verrannt?

Ich kann zwar erkennen, dass ein
Kreis mit Radius a die Flàche A1=a^2*pi ergibt und ein
Kreis mit Radius a/2 (Radius der Schlaufe) A2=a^2/4*pi ergibt,

aber so richtig bringt das mein Verstàndnis nicht weiter, auch wenn ich
sehe, dass das Verhàltnis von A2/A1=0.25 betràgt.

Ich grüble hierüber schon eine ganze Weile.
Würde mir jemand mit einer Erklàrung auf die Sprünge helfen?
(Ich finde es eine schöne Aufgabe, die mich entfernt an das Buffonsche Nadelproblem erinnert).

Danke und Grüße
Brigitte
 

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#1 Ralf Goertz
08/05/2015 - 09:23 | Warnen spam
Am Thu, 7 May 2015 23:38:12 -0700 (PDT) schrieb Brigitte
:

Hallo,

ich habe in einem alten Lehrbuch eine nette Aufgabe gefunden, wo ich
nicht so recht weiterkomme:

Gegeben sei eine gerade Strecke der Lànge a. Wàhle auf dieser Strecke
zufàllig zwei Punkte, so dass die Strecke in 3 gerade Teilstrecken
aufgeteilt wird. Die Frage lautet: Wie wahrscheinlich ist es, dass
sich die drei Teilstrecken zu einem geschlossenen Dreieck
zusammenfügen lassen?

Als korrekte Antwort wird p=0.25 angegeben.



Ich würde folgendermaßen herangehen:

Setze die Endpunkte der Strecke auf 0 und 1. Wàhle den ersten Punkt x
auf der Strecke, mit 0<x<=0,5. Wàhle den zweiten Punkt y. Dieser liegt
mit Wahrscheinlichkeit x zwischen 0 und x und mit Wahrscheinlichkeit 1-x
zwischen x und 1. Für ein Dreieck im zweiten Fall muss die
Dreieckungleichung gelten:

x+(y-x)>=1-y also y>=1/2

Im ersten Fall natürlich auch:

y+(x-y)>=1-x also x>=1/2

Das ist aber nach Konstruktion unmöglich. Da beide Fàlle
gleichwahrscheinlich sind, folgt p=1/4.

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