Struktur und Modell

20/06/2008 - 18:39 von Roman Töngi | Report spam
Bin Laie. Kann ich mir das mit den Strukturen und Modellen
vereinfacht folgendermassen vorstellen?

Ein Beispiel für eine Struktur ist z.B. ein Körper.
Strukturen werden mit entprechenden Eigenschaften definiert.

Ein Beispiel für ein Modell sind z.B die Reellen Zahlen.
Ein Modell ist eine Struktur zusammen mit einer Interpretation.


Ist das korrekt so?


Vielen Dank
 

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#1 Sebastian Holzmann
20/06/2008 - 21:58 | Warnen spam
Roman Töngi wrote:
Bin Laie. Kann ich mir das mit den Strukturen und Modellen
vereinfacht folgendermassen vorstellen?

Ein Beispiel für eine Struktur ist z.B. ein Körper.
Strukturen werden mit entprechenden Eigenschaften definiert.

Ein Beispiel für ein Modell sind z.B die Reellen Zahlen.
Ein Modell ist eine Struktur zusammen mit einer Interpretation.


Ist das korrekt so?



Die Begriffe "Struktur" und "Modell" stammen aus der Mathematischen
Logik, einem Bereich, in dem man mit den Wörtern ganz besonders
vorsichtig sein muss. Deshalb werde ich versuchen, mich so pràzise wie
möglich auszudrücken.

Zuallererst sollte man "Sprache" definieren. Eine Sprache ist ein
Ansammlung von Zeichen, und zwar von Konstantenzeichen, Funktionszeichen
und Relationszeichen.

Eine Struktur ist nun eine Menge, in der alle diese Zeichen eine
Interpretation haben. Es ist also zu jedem Konstantenzeichen ein Element
der Menge festgelegt, zu jedem Funktionszeichen eine Funktion und zu
jedem Relationszeichen eine Relation.

Nehmen wir jetzt zusàtzlich noch eine Theorie (nennen wir sie mal T),
also eine Menge von (pràdikaten)logischen Aussagen, die mit Hilfe der
Zeichen aus der Sprache gebildet werden, so können wir zu einer
bestimmten Struktur M herausfinden, ob sie ein Modell von T ist.

Die Interpretation findet also bereits auf der Strukturebene statt, die
Eigenschaft, Modell einer Theorie zu sein, zeichnet bestimmte Strukturen
aus.

Beispiel: Strukturen zu der Sprache der Gruppen (mit dem
Konstantenzeichen "1" und dem zweistelligen Funktionszeichen "*") sind
alle Mengen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung und einem
ausgezeichneten Element. Darunter sind genau die Gruppen die Modelle der
Theorie der Gruppen, in der festgelegt wird, dass die Verknüpfung
assoziativ ist, die Interpretation von 1 ein neutrales Element ist und
jedes Element ein Inverses besitzt.

Hoffe, geholfen zu haben.
Sebastian

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