SU(2) x U(1) Eichtrafo

14/10/2009 - 00:22 von Gregor Scholten | Report spam
Hallo zusammen,

bekanntlich wird die elektroschwache Wechselwirkung durch eine SU(2) x
U(1) Eichsymmetrie beschrieben. Dabei geht der U(1)-Teil
folgendermaßen: man hat eine skalare Wellenfunktion psi(x) und
multipliziert diese mit einem unitàren Phasenfaktor U:

psi(x) -> psi'(x) = U psi(x) = exp(i (f(x)) psi(x)

Das ist die U(1)-Eichtrafo. Man fordert dann, dass die Lagrange-Dichte
und alle messbaren Größen unter dieser Transformation invariant ist.
Beim SU(2)-Teil geht man davon aus, dass die Wellenfunktion ein Spinor
ist: psi(x) = (psi1(x), psi2(x)). Die SU(2)-Trafo ist dann die
Multiplikation mit einer speziell unitàren 2x2-Matrix M:

(psi1(x), psi2(x)) -> (psi1'(x), psi2'(x)) = M (psi1(x), psi2(x)) ( (m11, m12), (m21, m22) ) (psi1(x), psi2(x))

Jetzt stellt sich mir die Frage: wie sieht dann die kombinierte SU(2)
x U(1) Trafo aus? Eine Möglichkeit wàre ja ein einfaches Produkt aus
der Matrix M und dem Faktor U:

(psi1'(x), psi2'(x)) = ( (m11, m12), (m21, m22) ) U (psi1(x), psi2(x))

das wàre aber gleichbedeutend mit

(psi1'(x), psi2'(x)) = ( (m11 U, m12 U), (m21 U, m22 U) ) (psi1(x),
psi2(x))

d.h. es würde dann jede Komponente der Matrix mit U multipliziert
werden, auch die Nichtdiagonalelemente m12 und m21, die beim
Transformieren die beiden Spinorkomponenten mischen, woran der U(1)-
Teil aber nicht beteiligt sein sollte. Oder vielleicht nur die
Diagonalelemente mit U multiplizieren:

(psi1'(x), psi2'(x)) = ( (m11 U, m12), (m21, m22 U) ) (psi1(x), psi2
(x))

was dem Matrizenprodukt von M und E*U, mit E=Einheitsmatrix,
entspràche:

psi' = M (E*U) psi

?
 

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#1 Andreas Most
11/10/2009 - 06:06 | Warnen spam
Gregor Scholten writes:

Hallo zusammen,

bekanntlich wird die elektroschwache Wechselwirkung durch eine SU(2) x
U(1) Eichsymmetrie beschrieben. Dabei geht der U(1)-Teil
folgendermaßen: man hat eine skalare Wellenfunktion psi(x) und
multipliziert diese mit einem unitàren Phasenfaktor U:

psi(x) -> psi'(x) = U psi(x) = exp(i (f(x)) psi(x)

Das ist die U(1)-Eichtrafo. Man fordert dann, dass die Lagrange-Dichte
und alle messbaren Größen unter dieser Transformation invariant ist.
Beim SU(2)-Teil geht man davon aus, dass die Wellenfunktion ein Spinor
ist: psi(x) = (psi1(x), psi2(x)). Die SU(2)-Trafo ist dann die
Multiplikation mit einer speziell unitàren 2x2-Matrix M:

(psi1(x), psi2(x)) -> (psi1'(x), psi2'(x)) = M (psi1(x), psi2(x)) > ( (m11, m12), (m21, m22) ) (psi1(x), psi2(x))

Jetzt stellt sich mir die Frage: wie sieht dann die kombinierte SU(2)
x U(1) Trafo aus? Eine Möglichkeit wàre ja ein einfaches Produkt aus
der Matrix M und dem Faktor U:

(psi1'(x), psi2'(x)) = ( (m11, m12), (m21, m22) ) U (psi1(x), psi2(x))



genau so.

das wàre aber gleichbedeutend mit

(psi1'(x), psi2'(x)) = ( (m11 U, m12 U), (m21 U, m22 U) ) (psi1(x),
psi2(x))

d.h. es würde dann jede Komponente der Matrix mit U multipliziert
werden, auch die Nichtdiagonalelemente m12 und m21, die beim
Transformieren die beiden Spinorkomponenten mischen, woran der U(1)-
Teil aber nicht beteiligt sein sollte.



Die Mischung kommt von der SU(2) Transformation. U(1) multipliziert mit
einem konstanten Faktor.

Andreas.

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