Suche ein Modell der Mengenlehre

05/02/2011 - 22:31 von carlox | Report spam
Hallo allerseits,
I) Wenn ich ein Modell eines Körpers suche, kann ich z.B. die Menge R
der reellen Zahlen angeben. Die Menge R gibt es, denn die Mengenlehre
baut ja auf der axiomatischen Mengenlehre (ZFC) auf.
So weit, so gut.

II)
Jetzt suche ich aber ein Modell A der axiomatischen Mengenlehre (ZFC),
d.h. eine Tràgermenge U_A mit einer Interpretation des "ist Element
von" Zeichens, so dass für alle Axiome a der Mengenlehre (formuliert
in der Pràdikatenlogik 1. Stufe) gilt:
W_A(a,h) = W für alle Belegungen h.
(d.h. a ist gültig in der Struktur A).

Ich verstehe dann aber folgendes nicht:
Man kann doch gar keine Tràgermenge U_A angeben, weil man noch gar
keine Menge konstruieren kann, es gibt noch keine Mengen!!
Man hat also noch gar keine Semantik.
Man hat bis jetzt nur ein paat Axiome der Mengenlehre, mehr nicht.
Und auf diesen Axiomen soll ja die Mengenlehre bzw. alle Mengen
begründet werden ...
Das verstehe ich überhaupt nicht und ich bin da ziemlich verwirrt
Kann mir da jemand weiterhelfen.

mfg
ernst
 

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#1 Carlos Naplos
06/02/2011 - 07:17 | Warnen spam
Hallo

schrieb Ernst Baumann am 05.02.2011 22:31:
Hallo allerseits,
I) Wenn ich ein Modell eines Körpers suche, kann ich z.B. die Menge R
der reellen Zahlen angeben. Die Menge R gibt es, denn die Mengenlehre
baut ja auf der axiomatischen Mengenlehre (ZFC) auf.
So weit, so gut.

II)
Jetzt suche ich aber ein Modell A der axiomatischen Mengenlehre (ZFC),
d.h. eine Tràgermenge U_A mit einer Interpretation des "ist Element
von" Zeichens, so dass für alle Axiome a der Mengenlehre (formuliert
in der Pràdikatenlogik 1. Stufe) gilt:
W_A(a,h) = W für alle Belegungen h.
(d.h. a ist gültig in der Struktur A).

Ich verstehe dann aber folgendes nicht:
Man kann doch gar keine Tràgermenge U_A angeben, weil man noch gar
keine Menge konstruieren kann, es gibt noch keine Mengen!!



Richtig. Deshalb muss man, wenn man sich nicht im Vakuum bewegen möchte,
_ein weiteres Axiom_ hinzu nehmen: "Es existiert eine Menge."

Diese Menge, nennen wir sie M, kannst Du dann als Modell betrachten oder
die Leere Menge ({x aus M für die gilt: x ungleich x}) oder die Menge,
die die Leere Menge als einziges Element enthàlt oder jede andere Menge,
die Du mit den Axiomen daraus konstruieren kannst wie z.B. die
Natürlichen, Ganzen, Rationalen oder Reellen Zahlen.

Ein "Tràgermenge", die alle Mengen als Elemente enthàlt, wirst Du
allerdings nicht finden. Denn unter Verwendung nur zweier Axiome
(Extensionalitàtsaxiom und Aussonderungsaxiom, nicht zu verwechseln mit
dem Auswahlaxiom) làsst sich zeigen, dass eine solche "Allmenge" nicht
existieren kann.

Man hat also noch gar keine Semantik.
Man hat bis jetzt nur ein paat Axiome der Mengenlehre, mehr nicht.
Und auf diesen Axiomen soll ja die Mengenlehre bzw. alle Mengen
begründet werden ...
Das verstehe ich überhaupt nicht und ich bin da ziemlich verwirrt
Kann mir da jemand weiterhelfen.

mfg
ernst




Gruß
CN

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