Suche einfache Definition: (kartesisches) Koordinatensystem

03/02/2008 - 22:39 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

ich suche eine griffige, für Nicht-Mathematiker leicht
verstàndliche, natürlich mathematisch korrekte _Definition_
der Begriffe Koordinatensystem und insbesondere des
kartesischen Koordinatensystem.

Ein Beispiel hinzeichnen und sagen, das da ist
so ein Koordinatensystem, geht leider nicht.

Besten Gruß,
Robert
 

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#1 ram
03/02/2008 - 23:20 | Warnen spam
Robert Hartmann writes:
ich suche eine griffige, für Nicht-Mathematiker leicht
verstàndliche, natürlich mathematisch korrekte _Definition_
der Begriffe Koordinatensystem und insbesondere des
kartesischen Koordinatensystem.



Ein Koordinatensystem im allgemeinsten Sinne ist eine
Benennung von Elementen einer Menge. Die Elemente nennt man
dabei auch »Punkte«, und das Koordinatensystem ordnet jedem
Punkt einen Namen zu, den man »die Koordinate(n) des Punktes«
nennt.

Nicht-Mathematiker können dabei an den Speziallfall einer
Ebene denken. Ein kartesiches Koordinatensystem erhàlt man
dann durch Angabe zweier Urgeraden, die sich in einem
/rechten/ Winkel in einem Punkte, dem sogenannten »Ursprung«,
schneiden.

Die Koordinate eines Punktes erhàlt man dabei durch Hinzunahme
zweier Hilfsgerade, die durch den Punkt gehen und zu jeweils
einer der Urgeraden parallel verlaufen. Außerdem bestimmt man
eine Urgerade als »erste«. Die Positionen der Schnittpunkt
der Hilfsgerade auf den den Urgeraden sind dann gerade die
Koordinaten des Punktes, wenn man sie in der Reihenfolge
angibt, die mit der Position auf der ersten Urgeraden beginnt.

Wenn man mehr mathematische Fachbegriffe verwenden darf,

dann kann man sagen, daß die genannte Menge in fast allen
Fàllen eine Topologie hat, was eigentlich erst die
Bezeichnung »Punkte« für ihre Elemente rechtfertigt.

Das allgemeinste System auf dem man Koordinaten verwendet
ist fast immer eine Mannigfaltigkeit, deren
Koordinatensystem ist ihr Atlas.

Die Namen eines Punktes bestehen meistens aus der Angabe
der Karte des verwendeten Atlas und einem Tupel von Zahlen.

Außerdem stellt sich die Frage, wie man eine Abbildung auf
Koordinaten /angeben/ soll, ohne schon Koordinaten zu
haben. Denn ohne diese kann man ja nicht sagen /welchem/
Punkt eine Koordinate zugeordnet wird. Insbesondere nicht
mehr, wenn man sonst wenig Struktur und mehr als endlich
viele Punkte hat.

Hier muß man dann umgekehrt vorgehen, indem man die
Koordinaten als gegeben ansieht, und die Punkte als deren
Urbilder postuliert/generiert. Explizit angeben kann man
nur die Karten/wechsel/. Ein Atlas bestimmt damit
gleichzeitig die Mannigfaltigkeit, deren Atlas er ist.

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