Suche Parametrisierungen

20/06/2008 - 11:26 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

Zwecks Programmierung mit GCLC [1]
zum Darstellen zweier geometrischer
Sachverhalte suche ich die passenden
Parametrisierungen.

Ich suche zu den Punktmengen
eines Großkreises (s.u.) und
einer Großhyperbel (s.u.) die
zugehörige Parametrisierung.

Gerne nehme ich auch Hinweise entgegen,
wie ich diese Parametrisierungen mir
selber herleiten kann.

********* A) **********

Wir befinden uns im drei-dimensionalen euklidischen Raum R^3:


Es sei der Punkt festgelegt mit O = (0;0;0)

Zudem gibt zwei beliebige aber festgewàhlte
Punkte A und B
mit A!=B, A!=O, B!=O und d(O,A)=d(O,B)=r,
die zu der Kugel K=(O,r) gehören.

Die Punktmenge von K làsst sich einfach parametrisieren:

K={p mit p = r*(cos(u)*sin(v); sin(u)*sin(v); cos(v))
wobei 0<=u<=2*Pi und 0<=v<=2*Pi }

Die Punktmenge der euklidischen Gerade G durch A und B
làsst sich sehr einfach parametrisieren:
G={p mit p = (1-t)A + tB wobei t aus R }

Die Punktmenge einer euklidischen Ebene E, in der die drei Punkte
O, A und B liegen, làsst sich genauso leicht parametrisieren:

E={p mit p = O + u(A-O) + v(B-O) = uA + vB
wobei u und v aus R }


Der Schnitt der Kugel K mit der Ebene E
ergibt einen so genannten Großkreis.


Wie kann ich die Punktmenge dieses Großkreises parametrisieren?


********* B) **********

Wir befinden uns wieder im drei-dimensionalen
euklidischen Raum R^3:

Es sei erneut der Punkt festgelegt mit O = (0;0;0)

Die obere Schale eines zweischaligen Hyperboloiden
H={p mit p=(x,y,z) so dass (x^2+y^2-z^2=-1 AND z > 0) }
làsst sich zum Beispiel auch parametrisieren durch:

H={p mit p = (cos(u)*sinh(v); sin(u)*sinh(v); cosh(v))
wobei 0<=u<=2*Pi und v in R }

A und B seien zwei verschiedene Punkte aus H.

Die Punktmenge einer euklidischen Ebene E, in der die drei Punkte
O, A und B liegen, làsst sich wie schon oben gesehen parametrisieren:

E={p mit p = uA + vB
wobei u und v aus R }


Der Schnitt der Hyperboloid-Schale H mit der Ebene E
ergibt eine so genannte Großhyperbel.


Wie kann ich die Punktmenge dieser Großhyperbel parametrisieren?

*******************


Ich würde mich wirklich für Hinweise auf genannte
Parametrisierungen freuen.

Besten Gruß,
Robert


[1] GCLC (Geometry Constructions->LaTeX converter)
http://www.matf.bg.ac.yu/~janicic/gclc/
 

Lesen sie die antworten

#1 Oliver Gronau
20/06/2008 - 13:29 | Warnen spam
Am 20.06.2008 11:26 schrieb Robert Hartmann:
Hallo zusammen,



Hallo alleine!

Wie kann ich die Punktmenge dieses Großkreises parametrisieren?



Als Idee:
Aus a = 0A und b = 0B mit dem Kreuzprodukt einen Vektor c basteln der
senkrecht auf beiden steht (aufpassen ob nicht zwei Pole -A = B gegeben
sind, hattest Du nicht ausgeschlossen) und normieren.

Dann den Punkt A (oder B) um den Einheitsvektor c herum rotieren lassen
(-> Axis-Angle-Representation). Die Matrix ist vielleicht wenig hübsch
in symbolischer Form, sollte aber funktionieren.

Wie kann ich die Punktmenge dieser Großhyperbel parametrisieren?



Keine Ahnung.

Ciao
Olli

Ähnliche fragen