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Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n

15/10/2011 - 00:33 von Stephan Gerlach | Report spam
Bei einem bestimmten Beweis der Konvergenz der Reihe

Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n,

bzw. genaugenommen sogar der exakten Berechnung dieser Reihe, wird unter
anderem folgende Identitàt verwendet:

Summe{n=0 bis unendlich} e^(i*n*z) = 1/(1-e^{i*z}.

Es wurde offensichtlich die geometrische Reihe angewendet. Die dürfte
auf jeden Fall konvergieren, solange der Imaginàrteil von z *größer* als
0 ist (ansonsten aber nicht?!). Dummerweise wird "spàter" im weiteren
Verlauf der Berechnung irgendwann z=1 eingesetzt, was aber einen
Imaginàrteil von 0 hat.
Ist diese Vorgehensweise (geometrische Reihe mit e^{i*z} bilden und
anschließend z=1 einsetzen) aus irgendeinem Grund hier dennoch zulàssig?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Detlef Müller
15/10/2011 - 09:08 | Warnen spam
Am 15.10.2011 00:33, schrieb Stephan Gerlach:
Bei einem bestimmten Beweis der Konvergenz der Reihe

Summe{n=1 bis unendlich} sin(n)/n,

bzw. genaugenommen sogar der exakten Berechnung dieser Reihe, wird unter
anderem folgende Identitàt verwendet:

Summe{n=0 bis unendlich} e^(i*n*z) = 1/(1-e^{i*z}.

Es wurde offensichtlich die geometrische Reihe angewendet. Die dürfte
auf jeden Fall konvergieren, solange der Imaginàrteil von z *größer* als
0 ist (ansonsten aber nicht?!). Dummerweise wird "spàter" im weiteren
Verlauf der Berechnung irgendwann z=1 eingesetzt, was aber einen
Imaginàrteil von 0 hat.
Ist diese Vorgehensweise (geometrische Reihe mit e^{i*z} bilden und
anschließend z=1 einsetzen) aus irgendeinem Grund hier dennoch zulàssig?



Vielleicht wurde gesondert überlegt, daß die Reihe konvergiert,
dann lautet das Stichwort "Abelscher Stetigkeitssatz".
Wenn der Grenzwert auf einem Randpunkt existiert, kann die Potenzreihe
stetig auf diesen Punkt fortgesetzt werden.
Hat man also für das Innere eine schöne Formel gefunden, kann man diese
auf den Rand übertragen (wenn denn dort die Konvergenz gesichert
wurde).

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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