Summe aus singulärer und regulärer Matrix

03/07/2011 - 17:07 von Stephan Gerlach | Report spam
A und B seien komplexe quadratische Matrizen mit folgenden
Zusatz-Eigenschaften:
- A sei singulàr, d.h. det(A) = 0
- B sei positiv hermitesch, also insbesondere ist B^* = B und B
regulàr, d.h. det(B) != 0

Wir betrachten nun die Summe aus A und B.
Dann könnte es ja sein, daß diese Summe singulàr ist, also
det(A + B) = 0.

Frage: Gibt es dann eine konstante komplexe Zahl c1 ungleich 0 derart,
daß zumindest
c1 * A + B
regulàr ist?

Verschàrfung dieser Aussage:
Gibt es sogar zwei komplexe Zahlen c1 und c2 derart, daß
c1 * A + c2 * B und
c1 * B + c2 * A^*
beide regulàr sind?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Jan Fricke
03/07/2011 - 19:32 | Warnen spam
On 07/03/2011 05:07 PM, Stephan Gerlach wrote:
A und B seien komplexe quadratische Matrizen mit folgenden
Zusatz-Eigenschaften:
- A sei singulàr, d.h. det(A) = 0
- B sei positiv hermitesch, also insbesondere ist B^* = B und B regulàr,
d.h. det(B) != 0

Wir betrachten nun die Summe aus A und B.
Dann könnte es ja sein, daß diese Summe singulàr ist, also
det(A + B) = 0.

Frage: Gibt es dann eine konstante komplexe Zahl c1 ungleich 0 derart,
daß zumindest
c1 * A + B
regulàr ist?


Ja, denn für c1=0 ist sie regulàr, d.h. det(c1*A+B)!=0. Da die
Determinante stetig ist, gilt für jedes c1, das hinreichend nahe an Null
liegt, det(c1*A+B)!=0.

Genauer gesagt ist es sogar so, dass det(c1*A+B) ein Polynom vom Grad <=
n ist. Da der Wert für c1=0 nicht verschwindet, ist es nicht das
Nullpolynom, also gibt es höchstens n Werte für c1, so dass c1*A+B
singulàr ist.

Verschàrfung dieser Aussage:
Gibt es sogar zwei komplexe Zahlen c1 und c2 derart, daß
c1 * A + c2 * B und
c1 * B + c2 * A^*
beide regulàr sind?



Geht analog: Es gibt höchstens n Verhàltnisse c1:c2, für die die erste
Matrix singulàr ist, ebenfalls für die zweite, also gibt es höchstens 2n
Verhàltnisse c1:c2, für die eine der beiden Matrizen singulàr ist.


Viele Grüße Jan

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