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Summe zweier Kuben, neue Version

08/12/2010 - 19:23 von Peter | Report spam
x^3 mod 9 ergibt immer den Rest 0,1 oder 8

Teilt man eine ganze Zahl "z" durch 9 und ergibt sich ein anderer Rest
als 0,1, oder 8, dann ist "z" kein Kubus.

Beweis:
(3*p+r)^3 = 27*p^3 + 27*p^2*r + 9*p*r^2 + r^3
bzw etwas lesbarer hier :
http://www.wolframalpha.com/input/?...3*p%2Br%29^3

Daher MUSS in dem teilerfremden, ganzzahligen Ausdruck a^3+b^3=c^3
/genau/ eine einzige der Zahlen a^3,b^3,c^3 durch 27, 9 und 3 teilbar
sein. Tritt ein anderer Rest als 0,1 oder 8 auf, dann ist der Divident
kein Kubus!

Hier nochmal a^3 + b^3 = c^3 in allen 3 möglichen Umstellungen:

(1) a^3 = c^3 - b^3
(2) b^3 = c^3 - a^3
(3) c^3 = a^3 + b^3

Und hier aufgelöst:

(11) a^3 = (c-b)((c-b)^2 + 3*c*b)
(22) b^3 = (c-a)((c-a)^2 + 3*c*a)
(33) c^3 = (a+b)((a+b)^2 - 3*a*b)

Ist z.B. (a+b) durch 3 teilbar, aber nicht durch 9, dann ist auch
((a+b)^2 - 3*a*b) durch 3 teilbar, aber nicht durch 9.
C^3 ist in diesem Fall also nur durch 9 teilbar, jedoch nicht durch 27.
c^3 muss jedoch durch 27 teilbar sein.

Nimmt man an, (a+b) sei durch 9 teilbar, dann ist die rechte Klammer
nicht durch 81 teilbar.

D.h. nehme ich an, (a+b) sei durch 3^x teilbar, dann ist die rechte
Klammer /nicht/ durch 3^(2*x) teilbar und daher kann der Primfaktor 3
nicht in einer kubischen Potenz auftreten.

Das ist bei allen Gleichungen (11),(22), und (33) der Fall.


Das scheint mir offensichtlich zu sein, aber kann man das nachweisen
(oder widerlegen) ?
Wo ist der Denkfehler?


Gleiche Überlegungen kann man für höhere Primzahlpotenzen anstellen,
aber da wirds noch komplizierter.

Peter
 

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#1 Peter
08/12/2010 - 21:02 | Warnen spam
Am 08.12.2010 19:23, schrieb Peter:

(33) c^3 = (a+b)((a+b)^2 - 3*a*b)




Ich hab gerade gemerkt, dass man ((a+b)^2 - 3*a*b) als 3(x -ab)
schreiben kann, wenn man annimmt. (a+b) sei durch 9 teilbar.
Dann ist der ganze Ausdruck durch 27 teilbar.

a^3 + b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b)
= z^3* 3^6 -abz*3^3
= 3^3*z*(z^2*3^3 -ab)


Das kann dann aber doch auch kein Kubus sein, bzw. z ist nicht als
kubische Potenz enthalten.
(ab) und z sind teilerfremd

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