Surjektivität von Abbildungen im RxR

03/11/2008 - 15:10 von neb.anch | Report spam
Hallo,
irgendwie komme ich beim Untersuchen auf Surjektivitàt der Abbildung
f : R² -> R² nicht recht weiter, da ich den Ansatz nicht verstehe.

Ich habe folgende Abbildung:
f(x,y) = (3x+5y,5x+3y)

Surjektivitàt heißt ja, dass jedes Element des Wertebereichs von
mindestens einem Element der Definitionsmenge erwüscht wird.

Es gibt also zu jedem "y" mind ein "x". Das soweit klar, wenn das
soweit stimmte. Nur jetzt bin ich ja im RxR und da wüsste ich
irgendwie nicht, wie ich ansetzen muss, um die Funktion auf
Surjektivitàt zu prüfen.

Danke+Gruss
/Stefan
 

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#1 Hendrik van Hees
03/11/2008 - 15:15 | Warnen spam
wrote:

Hallo,
irgendwie komme ich beim Untersuchen auf Surjektivitàt der Abbildung
f : R² -> R² nicht recht weiter, da ich den Ansatz nicht verstehe.

Ich habe folgende Abbildung:
f(x,y) = (3x+5y,5x+3y)

Surjektivitàt heißt ja, dass jedes Element des Wertebereichs von
mindestens einem Element der Definitionsmenge erwüscht wird.



Das ist ja eine lineare Abbildung in dem endlichdimensionalen VR R^2,
und die ist surjektiv gdw. sie injektiv und also bijektiv ist. Das
wiederum ist genau dann der Fall, wenn ker f={0} bzw. die
darstellende Matrix invertierbar ist. Das wieder ist sie gdw. die
Determinante von 0 verschieden ist, und die ist

(3 5)
det | | = 3*3-5*5=-16 eq 0,
(5 3)

also ist f sogar bijektiv.

Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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