Symmetrische 3x3-Matrizen mit nur 2 Eigenwerten: Parametrisierungen und allgemeine Form

09/05/2016 - 10:03 von odt | Report spam
Ich suche nach einer (der?) allgemeinen Form von symmetrischen
3×3-Matrizen A mit nur 2 unterschiedlichen Eigenwerten, also
von Matrizen, die diagonalisiert so aussehen:

(a 0 0)
D = (0 b 0) = diag(a,b,b).
(0 0 b)

Alle diese Matrizen können durch 4 Parameter beschrieben werden,
z.B. durch die beiden Eigenwerte a, b und die Richtung des
Eigenvektors zu a beschrieben durch die Winkel theta, phi
(Kugelkoordinaten). Die anderen beiden Eigenvektoren liegen
(beliebig) in der Ebene orthogonal zu dieser Richtung.

Mit diesen 4 Parametern (a, b, theta, phi) lassen sich
beliebige Matrizen mit den Eigenwerten (a,b,b) konstruieren,
indem z.B. D (oben def.) mit geeigneten Rotationsmatrizen R
(bestehend im wesentlichen aus den Eigenvektoren) multipliziert
wird: A = R^T D R.


Gibt es andere (sinnvolle) Parametrisierungen (mit 4 unabhàngigen
Parametern) solcher Matrizen A? Vorzugsweise Parametrisierungen
ohne Winkel (Kugelkoordinaten), sondern direkt basierend auf
den Elementen der Matrix A?


Der Hintergrund meiner Frage ist, daß ich solche Matrizen A
durch Least-squares-Fitting von Meßdaten bestimmen möchte.
Bisher sieht es aber so aus, daß es besser ist, 6 unabhàngige
Parameter (s1, ..., s6) zu variieren, die eine allgemeine
symmetrische Matrix (mit 3 unterschiedlichen Eigenwerten)
definieren:

(s1 s2 s3)
S = (s2 s4 s5)
(s3 s5 s6)

als etwa die 4 Parameter (a, b, theta, phi) zu variieren.
"Besser" heißt, daß der Fit schneller konvergiert - obwohl
es mehr Freiheitsgrade sind - und nicht im falschen lokalen
Minimum hàngen bleibt, was bei den 4 Parametern abhàngig von
den Anfangswerten gelegentlich passiert.

Daher würde es mir vielleicht helfen, wenn ich 2 der 6
Parameter (s1, ..., s6) durch die 4 anderen ausdrücken
könnte, d.h. ich könnte meine Frage auch su umformulieren:

Wie lauten die (hoffentlich einfachen) Abhàngigkeiten,
um s1 = s1(s3, s4, s5, s6) und s2 = s2(s3, s4, s5, s6) zu
schreiben?

(Wenn das ganze ein bekanntes Problem ist, dann reicht
mir als Antwort auch gerne ein Verweis auf ein Buch oder
Artikel mit einer Lösung oder Diskussion - ich konnte nichts
dergleichen finden, habe aber möglicherweise nicht die
richtigen Suchbegriffen versucht.)

[Letzte Woche auch schon bei math.stackexchange gefragt;
bisher ohne Antwort.]

Danke
Olaf
 

Lesen sie die antworten

#1 Jens Kallup
09/05/2016 - 10:30 | Warnen spam
Hallo Olaf,

da Du D (für mich als "Determinate" erkennbar) geschrieben
hast, würde ich folgendes Schema auf eine 3x3 Matrix machen:

| a11 a12 a13 |
D A = |A| | a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

a11 * a22 * a33
+ a12 * a23 * a31
+ a13 * a21 * a32
- a31 * a22 * a13
- a32 * a23 * a11
- a33 * a21 * a12
-
= _______________

Das ganze ist ein wenig unübersichtlich.
Daher gibt es das Sarrus-Schemata, das die Ausmultiplikation
vereinfachen soll. Leider weiss ich nicht, wie man das in
Textform darstellen kann.

Viel Spass :-)
Jens

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