Symmetrisierung einer Funktion

22/12/2008 - 17:25 von Sebastian Starosielec | Report spam
Hallo,

Ich stehe vor einem kleinen kombinatorischen Problem, zu dem mir seit ein
paar Tagen keine gescheite Herangehensweise einfàllt.

Ich suche eine Darstellung der Funktion f(x1,x2,x3,x4): R^4->R,
von der eigentlich alles bekannt ist:
Sie ist symmetrisch in ihren Argumenten (ich darf beliebige zwei
Argumente vertauschen),
und für x1<=x2<=x3<=x4 ist sie gegeben durch
f(x1,x2,x3,x4) = exp(x1-x2+x3-x4)

Im Prinzip ist die Funktion damit ja vollstàndig bekannt. Zu jedem Punkt
(y1,y2,y3,y4) ordne man der Größe nach yi1 <= yi2 <= yi3 <= yi4, und
setzt dann in die bekannte Darstellung ein.

Nur, gibt es für die Funktion geschlossene Ausdrücke ?
Im zweidimensionalen Fall wàre sowas ja einfach nur exp(|x1-x2|).

Meine Überlegung wàre, daß die Darstellung einerseits nur von Differenzen
abhàngen kann, andererseits dessen Symmetrie aber auch offensichtlich
darstellbar sein müsste. Allerdings fàllt mir (bis auf Herumprobieren)
nichts ein außer sie mit Heavyside-Funktionen zusammenzustückeln

Jemand eine Idee ?

Vorweihnachtliche Grüße,
Sebastian
 

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#1 Alexander Streltsov
22/12/2008 - 20:01 | Warnen spam
Sebastian Starosielec schrieb:
Hallo,

Ich stehe vor einem kleinen kombinatorischen Problem, zu dem mir seit ein
paar Tagen keine gescheite Herangehensweise einfàllt.

Ich suche eine Darstellung der Funktion f(x1,x2,x3,x4): R^4->R,
von der eigentlich alles bekannt ist:
Sie ist symmetrisch in ihren Argumenten (ich darf beliebige zwei
Argumente vertauschen),
und für x1<=x2<=x3<=x4 ist sie gegeben durch
f(x1,x2,x3,x4) = exp(x1-x2+x3-x4)

Im Prinzip ist die Funktion damit ja vollstàndig bekannt. Zu jedem Punkt
(y1,y2,y3,y4) ordne man der Größe nach yi1 <= yi2 <= yi3 <= yi4, und
setzt dann in die bekannte Darstellung ein.

Nur, gibt es für die Funktion geschlossene Ausdrücke ?
Im zweidimensionalen Fall wàre sowas ja einfach nur exp(|x1-x2|).

Meine Überlegung wàre, daß die Darstellung einerseits nur von Differenzen
abhàngen kann, andererseits dessen Symmetrie aber auch offensichtlich
darstellbar sein müsste. Allerdings fàllt mir (bis auf Herumprobieren)
nichts ein außer sie mit Heavyside-Funktionen zusammenzustückeln

Jemand eine Idee ?



Eine geschlossene nicht zusammengestückelte Lösung kanns nicht geben,
weil die Funktion nicht überall beliebig oft differenzierbar ist. Halten
wir z.b. x2 <= x3 <= x4 fest und lassen x1 von 0 bis x2 anwachsen, so
ist die Funktion im Allgemeinen bei x1=x2 nicht differenzierbar.

mfg
Alex

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