Symplektische Transformation

11/09/2009 - 09:57 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo

Bei einer entsprechenden (üblichen) Wahl der Basis ist die Matrix

0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 0


invariant unter der symplektischen Gruppe Sp(4), d.h. wenn man diese
Matrix G nennt und die Transformation a, dann gilt a^T*G*a = G.
Gibt es eine Basis, in der diese Matrix wie folgt aussieht:

0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 c
0 0 -c 0

wobei c eine komplexe Zahl mit Betrag eins ist. Anders gefragt: Gegeben
ist eine Blockdiagonalmatrix von der letzteren Form, bei der sich die
Eintràge im oberen und unteren Block nur um eine Phase unterscheiden.
Ist diese Matrix invariant unter Sp(4)?

Gruss und danke,
Daniel
 

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#1 Ralf Muschall
11/09/2009 - 18:50 | Warnen spam
On 11 Sep., 09:57, Daniel Arnold wrote:
Bei einer entsprechenden (üblichen) Wahl der Basis ist die Matrix



Bei symplektischen Sachen ist Dein G (was sonst meist
Ω heißt) eine Bilinearform, d.h. kovariant in beiden Indizes.
Das ist insofern wichtig, weil sich Skalierungen der
Koordinaten nicht (wie bei Transformationen) herauskürzen,
sondern doppelt auswirken.

0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 0



Das andere Aussehen

0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 c
0 0 -c 0

wobei c eine komplexe Zahl mit Betrag eins ist. Anders gefragt: Gegeben



ergibt sich aus obigem mit der Koordinatentrafo
x¹'=x¹, x²'=x², x³'=x³*/k, x⁴'=x⁴/k (entsprechend der
Basistransformation
e₁'=e₁, e₂'=e₂, e₃'=k e₃, e₄'=k e₄)
mit k²=c. Es ist also dieselbe Bilinearform (und
demnach dieselbe Invarianzgruppe), nur in
seltsamen Koordinaten.

ist eine Blockdiagonalmatrix von der letzteren Form, bei der sich die
Eintràge im oberen und unteren Block nur um eine Phase unterscheiden.
Ist diese Matrix invariant unter Sp(4)?



Ja, nur sehen die (Matrix-)Elemente der (Gruppen-)Elemente
der Sp(4) in dieser Darstellung anders aus: die 2×2-Felder
oben links und unten rechts erscheinen normal, die beiden
anderen sind mit k (oben rechts) bzw. 1/k (unten links)
multipliziert.

PS: Ich bin zu faul, das jetzt nochmal für unicodisch
herausgeforderte in ASCII oder LaTeX abzumalen.

Ralf

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