Tangens-Produkte

07/12/2009 - 22:28 von Armin Saam | Report spam
Ich vermute das Folgende:

Es sei n eine ungerade Zahl größergleich 3 und N = (n-1)/2 sowie a = pi/n
Dann ergibt das Produkt der Tangenswerte von k*a (für k = 1,,N)
sqrt(n).

Ist dies schon mal bewiesen worden? Oder ist es neu (was ich eher nicht
glaube)?

Für n = 3 ist die Behauptung trivial, für n = 5 ist sie bequem beweisbar,
und zwar mittels
tan 36° = sqrt(5-2*sqrt(5)).
Für n = 9 habe ich mal einen Beweis entwickelt. Vor einem Jahr hatte ich
zudem diesen Fall in dieser Newsgruppe vorgestellt. tan 20° *tan 40° *tan
60° *tan 80° = 3 ist damals mehrfach bewiesen worden, u. a. von Wolfgang
Kirschenhofer.

Mich würde ein allgemeiner Beweis interessieren.

Schöne Grüße
Armin Saam
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
09/12/2009 - 23:39 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:
Ich vermute das Folgende:

Es sei n eine ungerade Zahl größergleich 3 und N = (n-1)/2 sowie a = pi/n
Dann ergibt das Produkt der Tangenswerte von k*a (für k = 1,,N)
sqrt(n).

Ist dies schon mal bewiesen worden? Oder ist es neu (was ich eher nicht
glaube)?

Für n = 3 ist die Behauptung trivial, für n = 5 ist sie bequem beweisbar,
und zwar mittels
tan 36° = sqrt(5-2*sqrt(5)).
Für n = 9 habe ich mal einen Beweis entwickelt. Vor einem Jahr hatte ich
zudem diesen Fall in dieser Newsgruppe vorgestellt. tan 20° *tan 40° *tan
60° *tan 80° = 3 ist damals mehrfach bewiesen worden, u. a. von Wolfgang
Kirschenhofer.

Mich würde ein allgemeiner Beweis interessieren.

Schöne Grüße
Armin Saam





Hallo Armin!

Auf der Seite

http://mathworld.wolfram.com/Trigon...ngles.html

findest Du die Formeln (23) und (24).
Aus ihnen folgt sofort Deine Behauptung.

Ich habe im Thread "Produkt von Sinuswerten" am 15.08.2009 die Formel
(24) bewiesen und im Thread "Ein Produkt von Cosinuswerten" am
18.08.2009 die Formel (23).

Herzliche Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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