Taylor-Entwicklung: Ungerade Polynome reichen?

06/12/2015 - 16:03 von Torsten Bronger | Report spam
Hallöchen!

Ich beschàftige mich mit den Abbildungseigenschaften von
Kameraobjektiven. Dabei versucht man, einen einkommenden
Lichtstrahl mit dem Winkel theta zur optischen Achse einem Abstand r
von der optischen Achse auf dem Kamerasensor zuzuordnen. Für ein
perfekt rektilineares (aka gnomonisches) Objektiv bekommt man:

r = f * tan(theta), f ist die Brennweite

Nun sind aber Objektive nicht perfekt. Daher multipliziert man das
perfekte r mit einer Korrekturfunktion K(r) um das reale r_d zu
bekommen:

r_d = r * K(r)


Soviel zum physikalischen Kontext, nun zur Mathematik.

Das K(r) ist eine beliebige(*) Funktion, definiert o.B.d.A über [0,
1]. Damit das rechnerisch handhabbar wird, wird es meist über ein
Polynom angenàhert, also um 0 herum Taylor-entwickelt, z.B.

K(r) = 1 + a * r + b * r^2 + c * r^3.

(Absolutglied ist immer "1", weil alles andere eh nur das Bild
linear skaliert.)

Jetzt setzt aber fast jedes Paper, was ich zu dem Thema lese, nur
die geraden Polynome für K(r) an, also z.B.

K(r) = \sum_{i=0}^\infty k_{2i} * r^{2i} (mit k_0 := 1, s.o.)

Für das r_d oben bedeutet das, daß nur *ungerade* Polynome benutzt
werden. Und das ist mein Problem. Ich finde aber keine Begründung
dazu. Insbesondere würde mich interessieren, ob es physikalische
oder mathematische Gründe sind. Im Paper
http://www.ee.oulu.fi/~jkannala/publications/tpami2006.pdf unter
Gleichung (6) wird gesagt:

... without any loss of generality, even powers have been
dropped. This is due to the fact that we may extend r onto the
negative side as an odd function while the odd powers span the
set of continuous odd functions.

Es leuchtet mir mathematisch ein, daß man das so machen kann, aber
warum sollte man das tun? Bringt es bei gleicher Zahl von
Koeffizienten mehr Genauigkeit? Klar, ich bin mit gerade mal drei
Koeffizienten dann bei 7. Potenz statt nur bei 4., aber der Verzicht
auf die geraden Polynome kann doch nicht ohne Nachteile einhergehen
... z.B. eine Parabel über [0, 1] làßt sich offensichtlich mit einem
gerade Polynom perfekt approximieren, hingegen nur mit ungeraden
ziemlich suboptimal.

Also ... sollte ich in Richtung physikalischer Begründung
weitersuchen, oder bekommt man tatsàchlich mathematisch ein besseres
Aufwand/Genauigkeit-Verhàltnis mit der Beschrànkung auf ungerade
Polynome?

Tschö,
Torsten.


(*) beliebig in dem Sinne, daß *mir* keine einschrànkenden
Eigenschaften bekannt sind.
Torsten Bronger Jabber-ID: torsten.bronger@jabber.rwth-aachen.de
 

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#1 Detlef Müller
06/12/2015 - 18:05 | Warnen spam
Hallo, Torsten,

Am 06.12.2015 um 16:03 schrieb Torsten Bronger:
Hallöchen!

Ich beschàftige mich mit den Abbildungseigenschaften von
Kameraobjektiven. Dabei versucht man, einen einkommenden
Lichtstrahl mit dem Winkel theta zur optischen Achse einem Abstand r
von der optischen Achse auf dem Kamerasensor zuzuordnen. Für ein
perfekt rektilineares (aka gnomonisches) Objektiv bekommt man:

r = f * tan(theta), f ist die Brennweite

Nun sind aber Objektive nicht perfekt. Daher multipliziert man


[...]

r_d = r * K(r)

Soviel zum physikalischen Kontext, nun zur Mathematik.

Das K(r) ist eine beliebige(*) Funktion, definiert o.B.d.A über [0,
1]. Damit das rechnerisch handhabbar wird, wird es meist über ein
Polynom angenàhert, also um 0 herum Taylor-entwickelt, z.B.

K(r) = 1 + a * r + b * r^2 + c * r^3.

(Absolutglied ist immer "1", weil alles andere eh nur das Bild
linear skaliert.)



[...]

Für das r_d oben bedeutet das, daß nur *ungerade* Polynome benutzt
werden. Und das ist mein Problem. Ich finde aber keine Begründung
dazu. Insbesondere würde mich interessieren, ob es physikalische
oder mathematische Gründe sind.



Ich denke, hier geht man von einem symmetrischen Aufbau aus, d.h.
wenn ich statt Theta den Eingangswinkel -Theta einsetze soll auch
das nicht perfekte Objektiv dennoch der Strahl auf der gegenüber
liegende Stelle -r_d ankommen.

Das bedeutet K(r) ist eine ungerade Funktion. Solche Funktionen
haben keine geraden Potenzen in ihrer Potenzreihenentwicklung.

Im Paper
http://www.ee.oulu.fi/~jkannala/publications/tpami2006.pdf unter
Gleichung (6) wird gesagt:

... without any loss of generality, even powers have been
dropped. This is due to the fact that we may extend r onto the
negative side as an odd function while the odd powers span the
set of continuous odd functions.



Ohne, dass ich hier vom Fach wàre, scheint das in eine àhnliche Richtung
zu gehen ...
[...]

Koeffizienten mehr Genauigkeit? Klar, ich bin mit gerade mal drei
Koeffizienten dann bei 7. Potenz statt nur bei 4., aber der Verzicht
auf die geraden Polynome kann doch nicht ohne Nachteile einhergehen
z.B. eine Parabel über [0, 1] làßt sich offensichtlich mit einem
gerade Polynom perfekt approximieren, hingegen nur mit ungeraden
ziemlich suboptimal.



Das würde dann aber bedeuten, das die Linsen (bzw. der Aufbau aus
Linsen, Spiegeln, Prismen und was nicht so an Zeugs in so einem Objektiv
sein mag) nicht rotationssymmetrisch wàren.

Also ... sollte ich in Richtung physikalischer Begründung
weitersuchen, oder bekommt man tatsàchlich mathematisch ein besseres
Aufwand/Genauigkeit-Verhàltnis mit der Beschrànkung auf ungerade
Polynome?



Wenn das Gottvertrauen auf die Symmetrie berechtigt ist, dürfte das
wirklich einiges bringen.
Gewissermaßen wird jedem Messwert-Paar (Theta_n, r_d(Theta_n)) implizit
noch das Paar (-Theta_n, -r_d(Theta_n)) zugefügt, d.h. die Datenmenge
"verdoppelt".
Ob man sich damit in die Tasche lügt, weil sich evtl. ein Objektiv doch
nicht symmetrisch verhàlt oder dies nicht der Fall ist, weil so ein
Objektiv sofort in den Müll wandern würde, kann ich nicht sagen.

Sicher wird noch jemand mit wirklicher Erfahrung aus der
dazu etwas sagen können.

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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