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taylor, sinus und cosinus

02/02/2010 - 16:36 von Robert Figura | Report spam
Im folgenden Artikel finden sich ausgestorbene Geschwister von Sinus und
Cosinus:

http://feedproxy.google.com/~r/BuiltOnFacts/~3/tO01oIeR_6c/sunday_function_62.php

Fas-zi-nierend! Jetzt wird da (unter anderem) ein Kriterum genannt
warum ausgerechnet die zwei Funktionen sin und cos übrig geblieben sind:

sin() und cos() haben eine disjunkte Taylorentwicklung.

Denn eigentlich sind sie sich ja àhnlich genug sodaß eine davon reichen
sollte:

cos = sin(x+C) mit C = pi/2

Das gefàllt mir. Ich will mal versuchen das aufzuweichen:

cos+sin hat eine Taylorentwicklung in der keine trivialen Glieder
existieren. (Vor jedem Exponent steht ein Faktor ungleich 0)

Dadurch motiviert: Eine Taylorreihe soll also im Gegenteil "dünn" heißen
wenn sie unendlich viele triviale Glieder hat. sin und cos sind also
beide dünn.

Ich vermute daß nur ungeradzahlige Vielfache von C = pi/2 eine dünne
Reihe hervorbringen (Stimmts? Beweis??)

Aber weiter: Was kann ich also mit so einem x sonst noch anstellen
damit eine dünne Reihe dabei herauskommt?:

Substitution x -> f(z):
Für welche f gilt tayl(sin(f(z))) ist dünn?

Ein paar Beispiele:
f(z) = 0
f(z) = z + pi/2
f(z) = z^2

Polynome habe ich mir jetzt noch etwas genauer angesehen und der Effekt
kommt mir sehr bekannt vor. Jetzt müßte ich mir die Kettenregel ansehen
und eine Rasterbrille aufsetzen. Sollte nicht allzu schwierig sein -
wenn ich dazu komme schreibe ich hier weiter.

So richtig befriedigend kann eigentlich nur die Charakterisierung
aller f mit den gewünschten Eigenschaften sein.[*]

Vielleicht ist das Thema ja interessant genug sodaß Du, werter Leser,
nicht zu widerstehen gekonnt haben wirst.

Grüße
- Robert Figura

[*]: Mein maxima mag keine Wurzeln: (%i1) taylor(sin(x*x*x+x),x,0,6)

3/2 5/2 7/2 9/2 11/2
x x x x x
(%o1)/T/ sqrt(x) - - + - - - + - -- + ...
6 120 5040 362880 39916800

:-(

/* mandlsig.c 0.42 (c) by Robert Figura */
I02;float O,o,i;main(l){for(;I--;putchar("oO .,t>neo.ckgel-t\
agidif@<ra urig FrtbeRo"[I%74?I>837&874>I?I^833:l%5:5]))for(O=o=l0;O*O+o*o<(16^l++);o=2*O*o+I/74/11.-1,O=i)i=O*O-o*o+I%74*.04-2.2;}
 

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#1 ram
02/02/2010 - 18:48 | Warnen spam
Robert Figura writes:
Im folgenden Artikel finden sich ausgestorbene Geschwister
von Sinus und Cosinus:



Commodore war ein Hersteller von Taschenrechnern, bevor sie
den Pet 2001 auf den Markt brachte, und ich erinnere mich
daran, in R*nows Rechnoth*k Commodore Taschenrechner mit
außerordentlich vielen Funktionstasten gesehen zu haben
(vermutlich dafür nicht programmierbar). Diese sollen wohl
beispielsweise Spezialtaschenrechner für die Navigation
gewesen sein (finde jetzt aber keine Bestàtigung für diese
Erinnerung »Navigation« - aha, doch, hier: »the N60 had
flight navigation functions.« auf »http://www.vintagecal
culators.com/html/commodore_calculators.html«.)

Viele Tasten (für statistische Berechnungen)

http://www.vintagecalculators.com/a...mS61_1.jpg

Wenig Tasten

http://www.vintagecalculators.com/a...C110_1.JPG

UPN-Taschenrechner von Commodore mit wenigen Tasten

http://spyropoulos.net/calcs-other/Commodore6X.jpg

Früher kam man als junger, mathematikinteressierter Mensch
früher oder spàter unweigerlich mit UPN-Taschenrechnern in
Kontakt. Heute wird von HP zwar wohl immer noch ein solcher
hergestellt, aber wer benutzt so etwas heute noch, wenn man
auf einem gleichgroßen Geràt unter Linux oder Windows
Mathematica, Office Suites und diverse HP-Taschenrechner-
Emulatoren und so weiter laufen lassen kann?

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