Taylorreihe - Vorgehensweise

12/05/2008 - 15:32 von Phil | Report spam
Es tut mir Leid, das mein erster Post zugleich eine Frage ist, was wohl
daran liegt, dass ich ein E-Technikstudent bin.

Ich soll die Taylorreihe von x->ln(x) f aus (0,oo)->R um den
Entwicklungspunkt X0=2 berechnen.

Desweiteren soll ich angeben fuer welche X die Reihe konvergiert (kein
Problem), und fuer welche X Sie konvergiert gegen f (*nachdenk*... nein,
keine Ahnung was die von mir wollen).


Fuer den Entwicklungspunkt wuerde ich anfangen X in f mit z=(X-2) zu
substituieren.
Danach ableiten. Wuesste aber gerne das generelle Vorgehen bei solchen
Aufgaben, da der Hintergrund bei uns in den Vorlesungen etwas kurz kommt
und mein Interesse an Mathematik groesser ist als das meines Tutors.

Vielen Dank fuer eure Antworten im Voraus,
Phil
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#1 Roland Franzius
12/05/2008 - 16:44 | Warnen spam
Phil schrieb:
Es tut mir Leid, das mein erster Post zugleich eine Frage ist, was wohl
daran liegt, dass ich ein E-Technikstudent bin.

Ich soll die Taylorreihe von x->ln(x) f aus (0,oo)->R um den
Entwicklungspunkt X0=2 berechnen.

Desweiteren soll ich angeben fuer welche X die Reihe konvergiert (kein
Problem), und fuer welche X Sie konvergiert gegen f (*nachdenk*... nein,
keine Ahnung was die von mir wollen).


Fuer den Entwicklungspunkt wuerde ich anfangen X in f mit z=(X-2) zu
substituieren.
Danach ableiten. Wuesste aber gerne das generelle Vorgehen bei solchen
Aufgaben, da der Hintergrund bei uns in den Vorlesungen etwas kurz kommt
und mein Interesse an Mathematik groesser ist als das meines Tutors.



Wenn du die Reihe von ln x für Entwicklungspunkt x=1 kennst, kannst du
skalieren: ln (2+x) = ln2 + ln (1+x/2).

Sonst machst du eben den Taylor

ln(2+ x) = ln2 + ln'(x)(x-2) + .. 1/k^! ln^(k)(x) (x-2)^k + ..

und zeigst dann, dass sum_k x^k/k für |x| <1 konvergiert und für |x|>1
divergiert.

Man kann natürlich auch 1/(2+x) in eine geometrische Reihe entwickeln
und dann integrieren. Dann sollte man aber wissen, dass Potenzreihen
gleidweise integriert und differnziert werden und der Konvergenzradius
dabei konstant bleibt.


Roland Franzius

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