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Teilbarkeitsbeweis

09/08/2011 - 22:04 von Thomas Weisbach | Report spam
Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine gerade
Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.

Ich habe lange gegrübelt...

Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man da
irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...

Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte ich
die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer durch 4
teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3 teilbar ist...
Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
die 24 liefern.

Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?

Mit freundlichen Grüßen!

Thomas Weisbach
 

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#1 Oliver Jennrich
09/08/2011 - 22:20 | Warnen spam
Thomas Weisbach writes:

Folgende Problemstellung: Man beweise, dass das Produkt aus 3
aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die erste Zahl soll eine
gerade Zahl sein, stets durch 24 teilbar ist.

Ich habe lange gegrübelt...

Der übliche Weg ist ja eigentlich, den Term mal aufzustellen und zu
schauen. Also: 2n*(2n+1)*(2n+2) ausmultiplizieren und schauen, ob man
da irgendwo den Faktor 24 findet. Das versagt aber hier...

Irgendwann, nachdem ich mir mehrere Beispiele angeschaut habe, hatte
ich die Idee: Da sind immer 2 gerade Zahlen dabei, eine ist immer
durch 4 teilbar und es ist auch immer eine Zahl dabei, die durch 3
teilbar ist...
Eigentlich habe ich also immer die Faktoren 2, 4 und 3 dabei, die mir
die 24 liefern.

Mein Problem ist nur, wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?



Das reicht doch eigentlich schon. Der Beweis wird nicht dadurch besser
oder schöner, dass man ihn in 'mathematisch' aufschreibt.

Andererseits - vollstàndige Induktion tut es auch:

n=1:
2n*(2n+1)*(2n+2) = 2*3*4 = 24

n->n+1

2(n+1)*(2(n+1)+1)*(2(n+1)+2) = 24 + 52*n + 36*n^2 + 8*n^3
= 24 + 48*n *24*n^2 + 4*n + 12*n^2 + 8*n^3
= 24*(n+1)^2 + 2n*(2n+1)*(2n+2)

Der erste Summand ist trivialerweise durch 24 teilbar, der zweite nach
Induktionsvoraussetzung.


Space - The final frontier

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