Teilmengenrelation bei Idealen

13/10/2007 - 14:19 von Thomas Plehn | Report spam
Hallo,

ich steige gerade in die Zahlentheorie ein und lese dazu ein
einführendes Lehrbuch. Bis jetzt war es gut verstàndlich, doch der
Beweis eines einfachen Satzes macht mir Schwierigkeiten:

Satz: Sei R ein Integritàtsring un a, b \in R\{0}. Es ist b genau dann
ein Teiler von a, falls aR \subset bR ist.
Insbesondere gilt aR eq bR, falls b ein echter Teiler von a ist.

Beweis: Wen b ein Teiler von a ist, dann gibt es ein r_1 \in R mit a =
r_1 b. Sei x \in aR, dann gilt x \in (r_1 b)R und somit x \in (b r_1)R
\subset bR. Ist umgekehrt aR \subset bR, dann gilt insbesondere a \in bR
dass heißt, es ist a = b r_2 für ein geeignetes r_2 \in R.
Also ist b ein Teiler von a.

...so, bis hier ist alles klar, Probleme bereitet mir nur der Beweis des
zweiten Teils des Satzes:

Sei b nun ein echter Teiler von a. Dann gibt es ein r \in R mit ar=b,
wobei a und r weder Einheiten, noch zu b assozierte Elemente sind.
Nimmt man nun an, dass aR=bR ist, so folgt mit dem Beweis des ersten
teils des Satzes rR \subset aR = bR, also rR \subset bR, und r muss ein
Teiler von b sein. Das stimmt aber im allgemeinen nicht.

Abgesehen davon, dass ich den zweiten Teil nicht verstehe, würde ich das
so zeigen:

zu zeigen: b echter Teiler von a \folgt aR eq bR
wegen Kontraposition kann man auch zeigen:
aR = bR \folgt b kein echter Teiler von a

nehmen wir also an, dass aR = bR, daher auch
aR \subset bR und bR \subset aR, damit auch nach erstem Teil des Beweises
b | a und a | b
damit a und b assoziert
damit kann b kein echter Teiler von a sein
 

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#1 Marc Olschok
13/10/2007 - 23:36 | Warnen spam
Thomas Plehn wrote:
Hallo,

ich steige gerade in die Zahlentheorie ein und lese dazu ein
einführendes Lehrbuch. Bis jetzt war es gut verstàndlich, doch der
Beweis eines einfachen Satzes macht mir Schwierigkeiten:

Satz: Sei R ein Integritàtsring un a, b \in R\{0}. Es ist b genau dann
ein Teiler von a, falls aR \subset bR ist.
Insbesondere gilt aR eq bR, falls b ein echter Teiler von a ist.

Beweis: Wen b ein Teiler von a ist, dann gibt es ein r_1 \in R mit a =
r_1 b. Sei x \in aR, dann gilt x \in (r_1 b)R und somit x \in (b r_1)R
\subset bR. Ist umgekehrt aR \subset bR, dann gilt insbesondere a \in bR
dass heißt, es ist a = b r_2 für ein geeignetes r_2 \in R.
Also ist b ein Teiler von a.

...so, bis hier ist alles klar, Probleme bereitet mir nur der Beweis des
zweiten Teils des Satzes:

Sei b nun ein echter Teiler von a. Dann gibt es ein r \in R mit ar=b,
wobei a und r weder Einheiten, noch zu b assozierte Elemente sind.
Nimmt man nun an, dass aR=bR ist, so folgt mit dem Beweis des ersten
teils des Satzes rR \subset aR = bR, also rR \subset bR, und r muss ein
Teiler von b sein. Das stimmt aber im allgemeinen nicht.

Abgesehen davon, dass ich den zweiten Teil nicht verstehe,



Da geht es mir wie Dir, ich sehe auch nicht, worauf der Autor hinauswill.
Vielleicht hat er im ersten Satz a = br schreiben wollen?


würde ich das
so zeigen:

zu zeigen: b echter Teiler von a \folgt aR eq bR
wegen Kontraposition kann man auch zeigen:
aR = bR \folgt b kein echter Teiler von a

nehmen wir also an, dass aR = bR, daher auch
aR \subset bR und bR \subset aR, damit auch nach erstem Teil des Beweises
b | a und a | b
damit a und b assoziert
damit kann b kein echter Teiler von a sein



Ist auch verstàndlicher. Die geschickteste Formulierung ist sicheerlich,
das "insbesondere..." dem Leser als Übungsaufgabe zu überlassen.

Marc

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