Teilnehmer vom "matheboard" ist beim Gesamtschrittverfahren "verwirrt" :

15/06/2014 - 04:21 von Edmund Schyller | Report spam
einzel-und gesamtschrittverfahren konvergenz
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17.06.2011, 20:46 alla88 Auf diesen Beitrag antworten »
einzel-und gesamtschrittverfahren konvergenz


hallo Willkommen
wir haben eine 3x3 matrix bekommen und die angabe lautet: zeigen sie dass sowohl das GSV als auch das ESV zur lösung des gleichungssystems Ax=b für jedes b und jeden startwert konvergieren.

nun habe ich mir die unendlichnorm des gesamtschrittoperators J angesehen und erhalte das er >1 ist. nun bin ich etwas verwirrt verwirrt da ich dachte dass es kleiner als eins sein müsste um konvergenz zu zeigen. ich bitte um eure hilfe. danke
 

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#1 Edmund Schyller
15/06/2014 - 04:27 | Warnen spam
Lokaler Diskretisierungsfehler Heun Verfahren
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09.08.2013, 15:33 Moe.Lee Auf diesen Beitrag antworten »
Lokaler Diskretisierungsfehler Heun Verfahren


Meine Frage:
Hallo,
Ich versuche mich gerade an Fehlerabschàtzungen, bin mir aber ziemlich unsicher.
Gegeben habe ich das Verfahren:
[latex]y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}h(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n)))[/latex]

Die Fehlerabschàtzung habe ich definiert als:
[latex]\tau(t,x;h)=\frac{1}{h}(\psi_{t+h,t}(x)-\hat\psi(t,x;h))=\frac{1}{h}(\psi_{t+h,t}(x)-x)-\Phi(t,x;h) [/latex]
[latex]\psi_{t+h,t}(x)=x+hf(t,x)+\frac{h^2}{2}\ddot x(t)+O(h^3)[/latex]

Hier geht die Verwirrung schon los, da der Lokale Diskretisierungsfehler überall anders definiert zu sein scheint. Bei uns steht auch teilweise "Lokaler Entwicklungsfehler", ist das àquivalent?


Meine Ideen:
Ich habe das ganze mal ausprobiert, denke aber das ist so nicht richtig.

[latex]\tau(x,y;n)=\frac{1}{h}(y+h(f(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}y''+O(h^3)-y)-\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n)))<br />
=\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{h}{2}y''+O(h^2)-\frac{1}{2}f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n))[/latex]
Nach einem Beispiel im Skript wàre der Fehler jetzt [latex]O(h)[/latex] "weil [latex]\tau[/latex] so schnell gegen Null geht wie der Term, der am langsamsten gegen Null geht (frac{h}{2}y'')"
Damit wàre das Verfahren 1. Ordnung? Das Heun-Verfahren ist aber 2. Ordnung?

Wie weit muss ich Taylor Entwicklung in
[latex]\psi_{t+h,t}(x)=x+hf(t,x)+\frac{h^2}{2}\ddot x(t)+O(h^3)[/latex]
wàhlen?

Bin für jede Hilfe Dankbar.
Links zu verstàndlichen Definition nehme ich auch gerne.

Gruß,
Mohammed
10.08.2013, 12:06 Moe.Lee Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das ganze nochmal neu probiert, und komme jetzt auf [latex]O(2)[/latex]. Allerdings zweifel ich noch an der korrektheit der Lösung.

[latex]\psi_{t+h,t}(x)=y+hf(x,y)+\frac{h^2}{2}(\delta _x f(x_n,y_n)+D_y f(x_n,y_n)f(x_n,y_n))+O(h^3)[/latex]
[latex]\phi=\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+\delta_x hf(x_n,y_n)+hD_yf(x_n,y_n)f(x_n,y_n)+O(h^2)) [/latex]

Eingesetzt:
[latex]\tau(x,y;h)=f(x,y)+\frac{h}{2}(\delta _x f(x_n,y_n)+D_y f(x_n,y_n)f(x_n,y_n))+O(h^2)<br />
-[\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+\delta_x hf(x_n,y_n)+hD_yf(x_n,y_n)f(x_n,y_n)+O(h^2)) ][/latex]
[latex]=\frac{h-1}{2}O(h^2)[/latex]

Daraus folgt

Ist das so richtig?
Ergibt für mich schon einmal mehr Sinn, da nur noch Terme mit vorhanden sind.

Gruß,
Mohammed

edit: Irgendwie ist das doch wieder fast das gleiche wie die Konsistenzordnung?

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