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Tennisproblem

19/12/2007 - 14:55 von Klaus Nagel | Report spam
Hier ist eine einfache Aufgabe, die mir immer beim Tennisspielen
einfàllt. Das Ergebnis ist für Verlierer recht tröstlich.
Mit Wahrscheinlichkeit p mache ein Spieler einen Punkt; der Einfachheit
halber soll die Wahrscheinlichkeit nicht davon abhàngen, ob er Aufschlag
hat oder nicht.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er ein Spiel? Dazu braucht er
mindestens vier Gewinnpunkte und zwei mehr als sein Gegner.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er einen Satz? Das sind sechs
Gewinnspiele und mindestens zwei mehr als der Gegener.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er ein Match über zwei (oder
auch drei) Gewinnsàtze?
4. Welches ist der wahrscheinlichste Ausgang eines Satzes?

Gruß,
Klaus Nagel
 

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#1 Jan Fricke
19/12/2007 - 18:08 | Warnen spam
Hallo Klaus!
Das geht alles mit Markov-Ketten. Ich glaube, dass ich auch irgendwo mal
eine vollstàndige Lösung davon gelesen hatte (Ian Stewarts Kolumne?).

Klaus Nagel wrote:
Hier ist eine einfache Aufgabe, die mir immer beim Tennisspielen
einfàllt. Das Ergebnis ist für Verlierer recht tröstlich.
Mit Wahrscheinlichkeit p mache ein Spieler einen Punkt; der Einfachheit
halber soll die Wahrscheinlichkeit nicht davon abhàngen, ob er Aufschlag
hat oder nicht.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er ein Spiel? Dazu braucht er
mindestens vier Gewinnpunkte und zwei mehr als sein Gegner.


Dazu gehört die Markov-Kette

0:0 -- p --> 15:0 -- p --> 30:0 -- p --> 40:0 -- p --> Gewinn A
| | | |
1-p 1-p 1-p 1-p
| | | |
V V V V
0:15 -- p --> 15:15 -- p --> 30:15 -- p --> 40:15 -- p --> Gewinn A
| | | |
1-p 1-p 1-p 1-p
| | | |
V V V V
0:30 -- p --> 15:30 -- p --> 30:30 -- p --> 40:30 -- p --> Gewinn A
| | | |
1-p 1-p 1-p 1-p
| | | |
V V V V
0:40 -- p --> 15:40 -- p --> 30:40 -- p --> Deuce --
| | | |
1-p 1-p 1-p :
| | | :
V V V
Gewinn B Gewinn B Gewinn B


Beim Einstand geht es so weiter (ging nicht mehr hin):

p >
Deuce <-- 1-p -- Advantage A -- p --> Gewinn A
| A
1-p |
| p
V |
Advantage B
|
1-p
|
V
Gewinn B

Bis zum Einstand rechnet es sich also noch recht leicht:
Gewinn A: p^4 * (1 + 4 * (1-p) + 10 * (1-p)^2),
Gewinn B: (1-p)^4 * (1 + 4 * p + 10 * p^2),
Einstand: 20 * p^3 * (1 - p)^3

Ab dem Einstand verwendet man entweder die Markov-Theorie oder löst das
hier noch recht übersichtliche Gleichungssystem:
P[A gewinnt bei "Advantage A"] = p + (1-p) * P[A gewinnt bei "Deuce"]
P[A gewinnt bei "Deuce"] = p * P[..."Advantage A"] + (1-p)*P[...B"]
P[A gewinnt bei "Advantage B"] = p * P[A gewinnt bei "Deuce"]

Das liefert eine Gewinnwahrscheinlichkeit für A von
p^2 / (p^2+(1-p)^2).

Wenn wir das alles zusammen packen, ergibt sich:

A gewinnt mit Wahrscheinlichkeit
p^4 * (1 + 4 * (1-p) + 10 * (1-p)^2) +
20 * p^3 * (1 - p)^3 * p^2 / (p^2+(1-p)^2)
= (-8*p^7 + 28*p^6 - 34*p^5 + 15*p^4)/(2*p^2 - 2*p + 1).

Nebenbei: Für p=1/2 ist diese Wahrscheinlichkeit (aus Symmetriegründen)
1/2. Das interessante bei den Tennisregeln ist, kleine
Leistungsunterschiede sich stark auswirken; eine Taylorentwicklung der
obigen Wahrscheinlichkeit für p=1/2+h ergibt:
1/2 + 5/2*h - 15*h^3 + 76*h^5 -+..
Und wer nur mit 1/3 punktet, gewinnt auch nur mit 35/243~1/7.

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er einen Satz? Das sind sechs
Gewinnspiele und mindestens zwei mehr als der Gegener.


Das geht jetzt ganz analog. Dazu stellt man wieder das Diagramm auf, und
muss hier die Wahrscheinlichkeiten von (1) benutzen. Man kann dabei
sogar den Aufschlagwechsel mit einbeziehen (z.B. A gewinnt seinen
Aufschlag mit Wahrscheinlichkeit p, B seinen mit q).


Ich wollte das schon immer mal komplett durchrechnen, jetzt habe ich
endlich mal den Anfang gemacht.

Viele Grüße Jan

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