Tensoren in der Physik

04/04/2008 - 14:06 von Tobias Baumann | Report spam
Guten Tag

Ich habe mal wieder so ein typisches Anfàngerproblem und brauche dazu
eine kleine Hilfe.

Ich nehm jetzt als Beispiel mal den Tràgheitstensor (ich hoffe mal für
andere Tensoren (zweiter Stufe) gilt das Folgende genauso). Rechnen mit
Tensoren hab ich fleißig geübt, daher geht es eigentlich nur um die
Anwendung in der Physik

Einen Tensor zweiter Stufe kann man als quadratische Matrix darstellen.
Wàhrend jedoch eine Matrix eine beliebige lineare Transformation
darstellen kann, ist ein Tensor nur für orthogonale Transformationen
definiert. Ist dieser Satz so richtig? Das würde heißen das ich nicht
jede quadratische Matrix als Tensor bezeichnen darf.

Dann geht es gleich weiter zur Folgefrage :)

Eine physikalische Größe (Tràgheitstensor als Beispiel) entspricht einer
3x3 Matrix. Jetzt möchte ich wissen ob das ein Tensor ist oder nicht.
Ist es korrekt das ich dann einfach nur die Beziehung (T wie
Tràgheitsmoment, R wie orthogonale Transformation, Einsteinsche
Summenkonvention) zeigen muss:

t'_kl = r_ik r_lj t_ij

Der Tràgheitstensor lautet bekanntlich:

t_ij = r^2 \delta_ij - x_i x_j

Dies kann man oben einsetzen und mit den Beziehungen:

r_ik r_jk = \delta_ij
x'_i = r_ij x_j
x_i = r_ji x'_j

Erhalte ich:

t'_kl = r^2 \delta_kl - x'_k x'_l

Hàtte ich somit gezeigt das T ein Tensor ist oer reicht das nicht aus?

Und die vorletzte Frage zu dem Thema:

Vielleicht gilt auch der Fall das man Tensoren nicht nachprüfen muss da
die physikalische Größe schon von vornehinein als Tensor definiert
wurde. Und aus der Definition T = Tensor folgt (mit den physikalischen
Gegebenheiten) t_ij = r^2 \delta_ij - x_i x_j.

Das würde dann natürlich die Frage ob T wirklich ein Tensor ist
überflüssig machen. Dann stellt sich jedoch die Frage: Ab wann benötige
ich den Tensorbegriff für eine physikalische Größe? Führt man diese nur
ein um die orthogonalen Beziehungen und invarianten Größen zu erhalten
(dies wurde soweit ich weiß beim Quadrupoltensor nicht gemacht)? Rein
mit Skalaren, Vektoren und Matrizen kommt man doch eigentlich auch sehr
weit.

Diese letzte Frage folgt direkt aus der Dritten:

Gibt es eine physikalsiche Größe die in einer quadratischen Matrix
dargestellt wird, jedoch kein Tensor zweiter Stufe ist?


Ich verlang hier ganzschön viel :(. Aber in der Lernphase auf das
Vordiplom stellt man sich diese Probleme und weiß oft nicht weiter. Hab
mir das Buch "Mathematische Methoden in dr Physik" von Lang und Pucker
ausgeliehen und das hat schon jede Menge beantwortet, aber diese
Kleinigkeit fehlt leider noch.

Vielen, vielen Dank.

Gruß Tobias
 

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#1 Matthias Vigelius
05/04/2008 - 01:22 | Warnen spam
Hallo Tobias,

Einen Tensor zweiter Stufe kann man als quadratische Matrix darstellen.
Wàhrend jedoch eine Matrix eine beliebige lineare Transformation
darstellen kann, ist ein Tensor nur für orthogonale Transformationen
definiert. Ist dieser Satz so richtig? Das würde heißen das ich nicht
jede quadratische Matrix als Tensor bezeichnen darf.



Ein Tensor und eine Matrix sind zunaechst einmal voellig verschiedene
Begriffe. Eine Matrix ist eine lineare Transformation, die einen Vektor
auf einen Vektor abbildet. Insbesondere gilt bei orthogonalen
Transformationen

A' = B A B^{-1} (1)

Fuer einen Tensor dagegen gibt es eine Reihe von Definitionen (drei
gebraeuchliche, um genau zu sein). Eher abstrakt kann man sagen, dass
ein Tensor eine Funktional ist, das p kovariante und q kontravariante
Vektoren akzeptiert und in die reellen (oder komplexen) Zahlen abbildet.
Eine eher praktische Definition ist, dass sich die kovarianten
(kontravarianten) Komponenten unter einer beliebigen
Koordinatentransformation wie

A_i'= \partial x_i'/\partial x_j A_j bzw.
A^i'= \partial x_j/partial x_i' A^j

transformieren. Fuer orthogonale Transformationen B entspricht das
Gleichung (1), d.h. eine Matrix transformiert hier wie ein Tensor.

Einen Tensor z.B. p-ter Stufe (der p kontravariante Vektoren akzeptiert)
kannst Du nun z.B. auch als lineare Abbildung von

(R^n) x .. (p-1 mal) .. x (R^n) -> R^n

betrachten, der also p-1 kontravariante Vektoren in einen Vektor
abbildet. Insofern ist ein Tensor eine Erweiterung des Matrizenkonzepts.
Der Traegheitstensor, z.B., gibt Dir den Drehimpuls als Funktion der
Winkelgeschwindigkeit.


Dann geht es gleich weiter zur Folgefrage :)

Eine physikalische Größe (Tràgheitstensor als Beispiel) entspricht einer
3x3 Matrix. Jetzt möchte ich wissen ob das ein Tensor ist oder nicht.
Ist es korrekt das ich dann einfach nur die Beziehung (T wie
Tràgheitsmoment, R wie orthogonale Transformation, Einsteinsche
Summenkonvention) zeigen muss:

t'_kl = r_ik r_lj t_ij

Der Tràgheitstensor lautet bekanntlich:

t_ij = r^2 \delta_ij - x_i x_j

Dies kann man oben einsetzen und mit den Beziehungen:

r_ik r_jk = \delta_ij
x'_i = r_ij x_j
x_i = r_ji x'_j

Erhalte ich:

t'_kl = r^2 \delta_kl - x'_k x'_l

Hàtte ich somit gezeigt das T ein Tensor ist oer reicht das nicht aus?



Yep. Allerdings solltest Du Dir angewoehnen, nicht ko- und
kontravariante Vektoren durcheinanderzubringen, das hilft spaeter
ungemein (z.B. wenn Du ART betreibst)


Und die vorletzte Frage zu dem Thema:

Vielleicht gilt auch der Fall das man Tensoren nicht nachprüfen muss da
die physikalische Größe schon von vornehinein als Tensor definiert
wurde. Und aus der Definition T = Tensor folgt (mit den physikalischen
Gegebenheiten) t_ij = r^2 \delta_ij - x_i x_j.



Verstehe nicht ganz was Du meinst. Du musst zeigen, dass T wie ein
Tensor transformiert. Eine andere Baustelle ist, koordinatenunabhaengig
zu arbeiten, d.h. Du fuehrst alle Begriffe differentialgeometrisch
abstrakt ein und weisst dann quasi von vornherein, dass sie in jedem
Koordinatensystem gelten.


Das würde dann natürlich die Frage ob T wirklich ein Tensor ist
überflüssig machen. Dann stellt sich jedoch die Frage: Ab wann benötige
ich den Tensorbegriff für eine physikalische Größe? Führt man diese nur
ein um die orthogonalen Beziehungen und invarianten Größen zu erhalten
(dies wurde soweit ich weiß beim Quadrupoltensor nicht gemacht)? Rein
mit Skalaren, Vektoren und Matrizen kommt man doch eigentlich auch sehr
weit.


Den gesamten Tensorapparat brauchst Du eigentlich erst wirklich, wenn Du
mit Differentialgeometrie anfaengst. Dann sind Tensoren Abbildungen aus
dem (Ko)Tangentialraum in die komplexen Zahlen [wobei der
(Ko)tangentialraum isomorph zu C^n ist]. Wie weiter oben schon erwaehnt,
kannst Du viele Theorien, z.B. die ART, koordinatenunabhaengig
formulieren, das ist sehr viel kompakter und eleganter. Aber auch ohne
in diese Hoehen aufzusteigen, brauchst Du Tensoren immer, wenn Du
Groessen mit mehr als zwei Indices hast. Nimm z.B. den epsilon Tensor,
als einfachstes Beispiel.


Diese letzte Frage folgt direkt aus der Dritten:

Gibt es eine physikalsiche Größe die in einer quadratischen Matrix
dargestellt wird, jedoch kein Tensor zweiter Stufe ist?


Eine Matrix transformiert sich nur unter orthogonalen Transformationen
wie ein Tensor, siehe oben.



Ich verlang hier ganzschön viel :(. Aber in der Lernphase auf das
Vordiplom stellt man sich diese Probleme und weiß oft nicht weiter. Hab
mir das Buch "Mathematische Methoden in dr Physik" von Lang und Pucker
ausgeliehen und das hat schon jede Menge beantwortet, aber diese
Kleinigkeit fehlt leider noch.



Viel Glueck! Fuer Vordiplomniveau kann ich noch den Arfken empfehlen,
der hat eigentlich alles drinnen, wenn auch mathematisch nicht sehr
konsequent.

HTH

Matthias


Vielen, vielen Dank.

Gruß Tobias




http://astro.ph.unimelb.edu.au/~mvigeliu/

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