Tensorprodukt

15/09/2007 - 00:40 von Wade Ward | Report spam
Man erwàge die folgende Matrix:
A =[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9]
A^2 liegt nahe:
A*A=[30 36 42
66 81 96
102 126 150 ]

Nun wollen wir den Analog mit 3 Dimensionen bedenken. Also haben wir einen
Tensor dritten Ranges. Im Usenet zu representieren müssen wir drei Schnitte
haben:
B= [[ 1 2 3 10 11 12 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27 ]]
In Wirklichkeit sieht es wie ein Rubik's cube aus.

Ist B*B gut definiert, und wenn schon, was ist es?

Danke im Voraus und Gruss,
Wade Ward
wade@zaxfuuq.net
'If they took all the "And it came to pass's" out
of the Book of Mormon, it would be a pamphlet.'
 

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#1 Jan Fricke
15/09/2007 - 15:25 | Warnen spam
Wade Ward wrote:
Man erwàge die folgende Matrix:
A =[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9]
A^2 liegt nahe:
A*A=[30 36 42
66 81 96
102 126 150 ]



Diese Matrix ist aber nicht irgendein Tensor, sondern ein (1,1)-Tensor.
Mit anderen Worten: Diese Matrix repràsentiert eine lineare Abbildung
R^3->R^3. Da wir wissen, was die Hintereinanderausführung von linearen
Abbildungen ist, können wir A^2 eine Bedeutung als Abbildung R^3->R^3 geben.

Wenn wir jedoch die Matrix A als quadratische Form auffassen (also als
(2,0)-Tensor), dann ist überhaupt nicht klar, was A^2 für eine
quadratische Form sein soll.

Allgemein ist das Produkt eines n-stufigen mit einem m-stufigen Tensor
ein (n+m)-stufiger Tensor. Durch Verjüngung (das ist die Summe über zwei
Indizes, wie man sie auch in der Formel für die Matrizen-Multiplikation
hat) kann man jedoch *bei* *geeigneter* *Interpretation* der Tensoren
einen Tensor niedriger Stufe erhalten.

Nun wollen wir den Analog mit 3 Dimensionen bedenken. Also haben wir einen
Tensor dritten Ranges. Im Usenet zu representieren müssen wir drei Schnitte
haben:
B= [[ 1 2 3 10 11 12 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27 ]]
In Wirklichkeit sieht es wie ein Rubik's cube aus.

Ist B*B gut definiert, und wenn schon, was ist es?



B * B ist ein 6-stufiger Tensor, und durch Verjüngung kann man (je nach
Typ der 3-Tensoren) einen 4- oder 2-stufigen Tensor erhalten, auf keinen
Fall aber einen 3-stufigen.

Das ist aber auch schon bei 1-stufigen Tensoren (also Vektoren) der
Fall. Ohne zusàtzliche Eigenschaften làßt sich kein "kanonisches"
Vektorprodukt definieren. (Das übliche Vektorprodukt funktioniert nur im
R^3 und ist nicht invariant unter Basistransformationen.)


Viele Grüße Jan

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