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Tertium non datur???

21/03/2008 - 15:46 von Albrecht | Report spam
Logisch und mathematisch làsst sich nur beweisen was in einem
Definitions-/Axiomensystem impliziert ist.

Z.B. làsst sich nur beweisen, dass es unendlich viele
Primzahlzwillinge gibt, wenn dieser Umstand in der Definition der
natürlichen Zahlen impliziert ist. Ist dieser Umstand nicht
impliziert, so làsst sich die Definition der natürlichen Zahlen um
diesen Umstand erweitern ohne ein widersprüchliches System zu
schaffen. Ebenso liese sich die Definition der natürlichen Zahlen um
die gegenteilige Aussage erweitern ohne Widersprüche zu erhalten.

Ein Beispiel für diesen Umstand ist die Entdeckung, dass die Geometrie
mit dem Parallelenaxiom richtig ist, sowie auch mit dazu alternativen
Axiomen.

Ein weiteres prominentes Beispiel dieses Sachverhaltes ist die Frage,
ob in ZF die Kontinuumshypothese gilt oder nicht. Es konnte bewiesen
werden, dass diese Frage in ZF nicht entschieden ist.

Damit ist aber festzustellen, dass das "Tertium non datur" nicht
grundsàtzlich immer gilt. Ein Axiomensystem legt nicht jeden Umstand
in seinem Geltungsbereich fest.

Es gibt auf die Frage: "Gilt die Aussage A(x)?" nicht nur die
Antworten "A(x) ist wahr" oder "A(x) ist falsch" sondern auch die
dritte Möglichkeit "A(x) ist nicht entscheidbar" kann auftreten.

Wie kann nun von vorne herein entschieden werden ob auf eine Frage
"Trifft A(x) zu?" das "Tertium non datur" zutrifft oder nicht?

Wie kann also das "Tertium non datur" als zuverlàssiges Mittel zur
Wahrheitsfindung eingesetzt werden ohne der Unsicherheit ausgesetzt zu
sein, dass der untersuchte Gegenstand im betrachtete Axiomensystem
möglicher weise nicht definiert/entschieden ist.

Wann gilt das "Tertium non datur"?

Gruß
Albrecht
 

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#1 Rudolf Sponsel
22/03/2008 - 17:09 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Logisch und mathematisch làsst sich nur beweisen was in einem
Definitions-/Axiomensystem impliziert ist.

Z.B. làsst sich nur beweisen, dass es unendlich viele
Primzahlzwillinge gibt, wenn dieser Umstand in der Definition der
natürlichen Zahlen impliziert ist. Ist dieser Umstand nicht
impliziert, so làsst sich die Definition der natürlichen Zahlen um
diesen Umstand erweitern ohne ein widersprüchliches System zu
schaffen. Ebenso liese sich die Definition der natürlichen Zahlen um
die gegenteilige Aussage erweitern ohne Widersprüche zu erhalten.

Ein Beispiel für diesen Umstand ist die Entdeckung, dass die Geometrie
mit dem Parallelenaxiom richtig ist, sowie auch mit dazu alternativen
Axiomen.

Ein weiteres prominentes Beispiel dieses Sachverhaltes ist die Frage,
ob in ZF die Kontinuumshypothese gilt oder nicht. Es konnte bewiesen
werden, dass diese Frage in ZF nicht entschieden ist.

Damit ist aber festzustellen, dass das "Tertium non datur" nicht
grundsàtzlich immer gilt. Ein Axiomensystem legt nicht jeden Umstand
in seinem Geltungsbereich fest.

Es gibt auf die Frage: "Gilt die Aussage A(x)?" nicht nur die
Antworten "A(x) ist wahr" oder "A(x) ist falsch" sondern auch die
dritte Möglichkeit "A(x) ist nicht entscheidbar" kann auftreten.

Wie kann nun von vorne herein entschieden werden ob auf eine Frage
"Trifft A(x) zu?" das "Tertium non datur" zutrifft oder nicht?

Wie kann also das "Tertium non datur" als zuverlàssiges Mittel zur
Wahrheitsfindung eingesetzt werden ohne der Unsicherheit ausgesetzt zu
sein, dass der untersuchte Gegenstand im betrachtete Axiomensystem
möglicher weise nicht definiert/entschieden ist.

Wann gilt das "Tertium non datur"?

Gruß
Albrecht



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Rudolf Sponsel, Erlangen

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