Tiefer oder Höher-Spiel

01/09/2008 - 12:54 von Hauke Reddmann | Report spam
War grad auf dem Alstervergnügen...

1. Es gibt n Zahlen von 1-n, die in zufàlliger Reihenfolge
gezogen werden, und 1 Opfer, àh, Rater.
2. Die erste Zahl ist gratis. Bei den nàchsten muß der
Rater vorher "Tiefer" oder "Höher" (als die zuvor gezogene
Zahl) sagen. Ràt er falsch, hat er verloren.
3. Die Zahl ist dann "weg". (Bei der praktischen Ausführung
wurden einfach gemischte Karten der Reihe nach umgedreht.)
Schafft er es bis zur letzten Zahl, hat er gewonnen.
4. Wie groß ist die Siegchance? (n)

A. Eine Karte ist trivial gewonnen.
B. Zwei auch, außer bei totaler Verblödung. :-)
C. Drei ist einfach: Wenn die 2 als erstes kommt und man
falsch ràt (1/3*1/2), hat man verloren.
D. Vier schon nicht mehr. Wenn die 1 oder 4 gezogen
wird, sind wir bei C. Falls aber die 2, so
ist es entgegen dem flüchtigen Blick egal, ob man
"Höher" oder "Tiefer" sagt: In beiden Fàllen hat
man 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, weil die
niedrigere für "Tiefer" durch die bessere Situation
danach kompensiert wird. (Zusammen 7/12 Gewinn)

D.h., man darf bei der Analyse keinesfalls davon ausgehen,
daß es die richtige Strategie ist, einfach "Höher" zu sagen,
wenn noch mehr höhere Zahlen im Spiel sind.

Stellt mal einer die komplette Markov-Matrix auf? :-)
Hauke Reddmann <:-EX8 fc3a501@uni-hamburg.de
Er-a svo gott sem gott kveða
öl alda sonum, því að færra veit
er fleira drekkur síns til geðs gumi.
 

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#1 Stefan Kirchner
01/09/2008 - 22:36 | Warnen spam
On Mon, 1 Sep 2008, Hauke Reddmann wrote:

War grad auf dem Alstervergnügen...

1. Es gibt n Zahlen von 1-n, die in zufàlliger Reihenfolge
gezogen werden, und 1 Opfer, àh, Rater.
2. Die erste Zahl ist gratis. Bei den nàchsten muß der
Rater vorher "Tiefer" oder "Höher" (als die zuvor gezogene
Zahl) sagen. Ràt er falsch, hat er verloren.
3. Die Zahl ist dann "weg". (Bei der praktischen Ausführung
wurden einfach gemischte Karten der Reihe nach umgedreht.)
Schafft er es bis zur letzten Zahl, hat er gewonnen.
4. Wie groß ist die Siegchance? (n)

A. Eine Karte ist trivial gewonnen.
B. Zwei auch, außer bei totaler Verblödung. :-)
C. Drei ist einfach: Wenn die 2 als erstes kommt und man
falsch ràt (1/3*1/2), hat man verloren.
D. Vier schon nicht mehr. Wenn die 1 oder 4 gezogen
wird, sind wir bei C. Falls aber die 2, so
ist es entgegen dem flüchtigen Blick egal, ob man
"Höher" oder "Tiefer" sagt: In beiden Fàllen hat
man 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, weil die
niedrigere für "Tiefer" durch die bessere Situation
danach kompensiert wird.



Sicher?
Angenommen Du sagst "höher", dann gibt es drei Fàlle für die als nàchste
gezogene Zahl.
a) 1: mit Wahrscheinlichkeit 1 verloren
b) 3: mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewonnen
c) 4: mit Wahrscheinlichkeit 1 gewonnen; du sagst "tiefer" und im
nàchsten Schritt höher (bzw. tiefer), wenn die Zahl 1 (bzw. 3) gezogen
wurde.

Gewinnwahrscheinlichkeit bei 2 im ersten Zug und anschließendem
"höher": Fall a + Fall b + Fallc = 0 + 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 1/2 > 1/3.

Ingesamt ergibt sich damit eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/2 * 5/6 +
1/2 * 1/2 = 2/3 bei vier Karten.

Vielleicht hilft für den allgemeinen Fall eine rekursive Berechnung von
P[k,n] = Gewinnwahrscheinlichkeit (bei optimaler Strategie), wenn n Karten
übrig sind, wobei k kleiner und n-k Karten größer als die soeben gezogene
Karte ist.


Viele Grüße
Stefan

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