Tja - wenn Mathematik so einfach wäre ....

14/12/2011 - 08:16 von ThreeTrillionLightyears FromHome | Report spam
1. Anfangsgründe der Mengenlehre
2. Reelle Zahlen
3. Metrische Ràume
4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlengeraden
5. Normierte Ràume
6. Hilbertràume
7. Ràume stetiger Funktionen
8. Differentialrechnung
9. Analytische Funktionen
9'. Anwendungen analytischer Funktionen auf die Topologie der Ebene
10. Existenzsàtze
11. Elementare Spektraltheorie
Anhang. Anfangsgründe der linearen Algebra

Diese Bànde von Diedonne, 1960, solltet ihr erst mal durchackern,
bevor ihr hier
rumtönt, ihr wolltet " was berechnen " !
 

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#1 ThreeTrillionLightyears FromHome
14/12/2011 - 19:18 | Warnen spam
On 14 Dez., 08:16, ThreeTrillionLightyears FromHome
wrote:
1. Anfangsgründe der Mengenlehre
2. Reelle Zahlen
3. Metrische Ràume
4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlengeraden
5. Normierte Ràume
6. Hilbertràume
7. Ràume stetiger Funktionen
8. Differentialrechnung
9. Analytische Funktionen
9'. Anwendungen analytischer Funktionen auf die Topologie der Ebene
10. Existenzsàtze
11. Elementare Spektraltheorie
Anhang. Anfangsgründe der linearen Algebra

Diese Bànde von Diedonne, 1960, solltet ihr erst mal durchackern,
bevor ihr hier
rumtönt, ihr wolltet " was berechnen " !






Alle Physiker brauchen übrigens im 4. Semester, Numerik den Existen
Satz BW, um den Banach'schen Fixpunktsatz und den Newtonalgorithmus
( Referat genehmigt ! Praktikum genehmigt ! Klausur
durchgefallen ! ... Naja, typisch Mathematik-Fakultàt München f
Strich immer echt kleiner 1 ) zu beweisen.


4.2 Der Satz von Bolzano-Weierstrass
Wir kommen zu einem allgemeinen Existenzsatz, der sich auf beliebige
beschr
¨ankte Folgen bezieht. Man stelle sich dazu einen Zufallszahlen-
Generator
vor, der jede Sekunde eine (unendlich genaue) reelle Zahl im Intervall
[ 0, 1 ]
ausgibt. Konkreter ist das folgende Beispiel:
x0 := 0.2 , xk+1 := 3.9 · xk(1 − xk) (k * 1) . (1)
Die durch (1) produzierte Folge im Intervall [ 0, 1 ] zeigt ein
sogenanntes chaotisches
Verhalten (siehe die Fig. 4.2.1 sowie Aufgabe 6 am Schluss dieses
Abschnitts).
10 20 30 40
1
0
xk
k
0.2
Fig. 4.2.1
Der Satz von Bolzano-Weierstrass lautet:
(4.6) Jede beschr¨ankte Folge von reellen Zahlen besitzt (mindestens)
einen
H¨aufungspunkt bzw. eine konvergente Teilfolge.
Eine gegebene Folge x. kann einen oder mehrere, ja sogar
¨uberabz¨ahlbar
viele H¨aufungspunkte haben. Jedenfalls sollte es einen geben, der am
weitesten
rechts liegt. Auf den wollen wir nun zusteuern.
Es gibt ein M mit −M ≤ xk ≤ M f¨ur alle k. Betrachte jetzt die Menge S
aller Zahlen s ∈ R mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt unendlich
viele
xk * s — in Formeln:
S :©
s ∈ R
ØØ
∀N ∃k > N : xk * s

.
Dann ist −M ∈ S, und S ist nach oben beschr¨ankt durch M. Somit
besitzt
die Menge S ein wohlbestimmtes Supremum σ ≤ M. ¨Uber dieses σ l¨asst
sich
folgendes sagen:
Erstens: Ist ε > 0, so liegt die Zahl σ + ε nicht in S, und das heisst
nach
Definition von S:
4.2 Der Satz von Bolzano-Weierstrass 149
(a) Ist ε > 0, so gibt es nur endlich viele xk * σ + ε.
Zweitens: Zu beliebigem ε > 0 gibt es ein s ∈ S mit s > σ − ε, und
hieraus
folgt:
(b) Zu jedem ε > 0 gibt es unendlich viele xk mit xk > σ − ε.
Nimmt man (a) und (b) zusammen, so kann man den folgenden Schluss
ziehen: F¨ur beliebig kleines ε > 0 enth¨alt Uε(σ) unendlich viele xk,
das
heisst aber: σ ist ein H¨aufungspunkt der Folge x. .

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