Topologie

16/07/2016 - 00:02 von Jürgen R. | Report spam
Was heute Topologie heißt, das hieß früher Analysis Situs.
Der Ausdruck stammt von Euler.

Von Euler stammt auch die erste topologische Invariante, die man heute
Euler-Poincare'sche Charakteristik nennt. Die Zusammenhànge mit dem
Geschlecht geschlossener Flàchen, dem Gauss-Bonnet'schen Satz, Gauss'
Curvatura Integra und dem Theorema egregium nennt Heinz Hopf in seinen
Vorlesungen zur "Differentialgeometrie im Großen" die schönsten
mathematischen Sàtze, die es gibt.

Die Grundlagen der Topologie der Punktmengen stammen in ganz erheblichem
Maß von Cantor, aber die heutige Formulierungen bürgerten sich erst
spàter ein. Die gesamte moderne Analysis wird heute in dieser Sprache
formuliert.

Es ist eine elementare Tatsache, dass ein und dieselbe Folge
verschiedene Grenzwerte haben kann, abhàngig von der Topologie des
Raumes, zu dem sie gehört. Dazu einige Beispiele.

Die einfachsten Beispiele wàren wohl die diskrete und die "indiskrete"
Topologie, aber diese sind für Anfànger zu unnatürlich.

Man betrachte RxR als

(a) Euklidische Ebene R^2

(b) Riemann'sche Kugel S^2, d.h. 1-Punkt Kompaktifizierung der Ebene,
durch die Stereographische Projektion der Einheitskugel mit Zentrum 0.

(c) Projektive Ebene RP^2 als Zentralprojektion der Einheitskugel mit
Zentrum (0,0,1), wobei man Antipoden der Kugel identifiziert.

Dann betrachte man die Folgen

(1) f_k = k*(cos w, sin w), w reell
(2) g_k = k*(cos k/n, sin k/n), n > 1 und ganzzahlig
(3) h_k = (R^{1/k}) (cos w, sin w ), R > 0, w reell

Dann gilt folgendes:

(1) (f_k)
(a) Divergiert in R^2 für jedes reelle w
(b) Konvergiert in S^2 gegen (0,0,1) für jedes reelle w
(c) Konvergiert in RP^2 gegen (cos w, sin w, 1)

(2) (g_k)
(a) Divergiert in R^2
(b) Konvergiert gegen (0,0,1) in S^2
(c) Divergiert in RP^2

(3) (h_k)
Konvergiert in allen 3 Ràumen
 

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#1 Carlo XYZ
16/07/2016 - 09:15 | Warnen spam
Jürgen R. wrote:

Es ist eine elementare Tatsache, dass ein und dieselbe Folge
verschiedene Grenzwerte haben kann, abhàngig von der Topologie des
Raumes, zu dem sie gehört. Dazu einige Beispiele...



Nett! (Wenn ich es richtig verstanden habe.)

Hausaufgabe für IV, Bader und Schulz: Analoges für "stetig"
bzgl. R^2->R^2. [Nein, ich habe keine Musterlösung.]

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