Trägheitsmoment bzgl. nicht-Schwerpunktsystem eines Körpers

25/06/2008 - 21:52 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

angenommen, ich habe eine Kugel mit konstanter Massendichte mit dem
Radius R und den Mittelpunktskoordinaten (xc, yc, zc). Ich habe die
Tràgheitstensor-Matrix bezüglich des nicht-körperfesten Systems, also
(0,0,0), berechet. Als Eigenwerte von ihr ergab sich

lambda_1 = (2 M R^2)/5,
lambda_2 = \lambda_3 = 1/5 (2 M R^2 + 5 M xc^2 + 5 M yc^2 + 5 M zc^2)

Nun habe ich dasselbe für einen Würfel der Kantenlànge a berechnet. Er
hat dieselben Schwerpunktskoordinaten wie die Kugel, seine
Massendichte ist auch homogen verteilt. Die Eigenwerte sind

lambda_1=(a^2 M)/6,
lambda_2=\lambda_3=1/6 (a^2 M + 6 M xc^2 + 6 M yc^2 + 6 M zc^2)

Offensichtlich ist der kleinste Eigenwert von der Position des Körpers
unabhàngig. Die anderen beiden Eigenwerte sind jeweils gleich. Ich
versuche eine Erklàrung dafür zu finden, habe es bisher aber nicht
verstanden. Ich denke, dass es damit zu tun haben kann, dass jede
Gerade von (0,0,0) zum Mittelpunkt der Kugel auch gleichzeitig eine
Drehachse der Kugel ist. Aber beim Würfel ist dies doch nicht so,
oder? Für eine schlüssige Erklàrung wàre ich sehr dankbar!

Gruß
Alexander
 

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#1 Hans-Bernhard Bröker
26/06/2008 - 00:18 | Warnen spam
Alexander Erlich wrote:

Offensichtlich ist der kleinste Eigenwert von der Position des Körpers
unabhàngig. Die anderen beiden Eigenwerte sind jeweils gleich. Ich
versuche eine Erklàrung dafür zu finden, habe es bisher aber nicht
verstanden.



Das ist eigentlich denkbar einfach, und sollte dir geradezu mit Gewalt
ins Auge springen, sobald du dir die Mühe machst, zu diesem kleinsten
Eigenwert auch den Eigenvektor zu berechnen, und dann mal die Symmetrien
deines Problems mit denen der Lösung vergleichst.

Ich denke, dass es damit zu tun haben kann, dass jede
Gerade von (0,0,0) zum Mittelpunkt der Kugel auch gleichzeitig eine
Drehachse der Kugel ist.



Sie ist vor allem einzige Drehachse, die durch den Ursprung und
Schwerpunkt geht, für die mithin der Steiner'sche Satz keine
zusàtzlichen Terme zum Tràgheitsmoment beisteuert.

Aber beim Würfel ist dies doch nicht so, oder?



Ohne dass ich es jetzt konkret nachgerechnet hàtte: doch. Denn auch
dessen Tràgheitsmoment ist kugelsymmetrisch, hat also drei gleiche
Eigenwerte. Darauf, und nicht darauf, was eine "Drehachse eines
Körpers" sein soll, kommt es an.

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