transfinite Induktion

18/03/2010 - 10:41 von Albrecht | Report spam
A sei die Menge der Ordinalzahlen \ {}, also A = { {0}, {0, 1}, {0, 1,
2}, {0, 1, 2, 3}, ...} mit a e A, a_0 = {0} und a' = a u {a}

Satz: Für jedes a e A gilt: es gibt ein x e a mit x+ 1 = |a|

Beweis mit vollstàndiger Induktion:

Induktionsanfang: |a_0| = |{0}| = 1 = 0+1
Induktionsschritt:
Wenn n e a_n und |a_n| = n+1 dann n+1 e a_(n+1) und |a_(n+1)| = (n
+1)+1
Schluß: Für jedes a e A gilt: es gibt ein x e a mit x+ 1 = |a|

Transfinite Induktion:

1) A ist wohlgeordnet bzgl. < da jede Teilmenge von A kleinstes
Element besitzt (Menge der Ordinalzahlen\{})
2) für jedes b e A gilt: für jedes a<b e A gilt: es gibt ein x e a mit
x+ 1 = |a| (lt. voll. Induktion)
3) Ist b eine Grenzzahl und gilt P(a) für jede Ordinalzahl a < b, so
gilt auch P(b).

Wie man den dritten Schritt weitergehend zeigt ist mir nicht so ganz
klar. Ergibt sich das einfach aus den Ordinalzahleigenschaften?

http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion

Sonnigen Tag allerseits
Albrecht
 

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#1 Albrecht
18/03/2010 - 19:38 | Warnen spam
In article
,
Albrecht wrote:

A sei die Menge der Ordinalzahlen \ {}, also A = { {0}, {0, 1}, {0, 1,
2}, {0, 1, 2, 3}, ...} mit a e A, a_0 = {0} und a' = a u {a}

Satz: Für jedes a e A gilt: es gibt ein x e a mit x+ 1 = |a|

Beweis mit vollstàndiger Induktion:

Induktionsanfang: |a_0| = |{0}| = 1 = 0+1
Induktionsschritt:
Wenn n e a_n und |a_n| = n+1 dann n+1 e a_(n+1) und |a_(n+1)| = (n
+1)+1
Schluß: Für jedes a e A gilt: es gibt ein x e a mit x+ 1 = |a|

Transfinite Induktion:

1) A ist wohlgeordnet bzgl. < da jede Teilmenge von A kleinstes
Element besitzt (Menge der Ordinalzahlen\{})
2) für jedes b e A gilt: für jedes a<b e A gilt: es gibt ein x e a mit
x+ 1 = |a| (lt. voll. Induktion)
3) Ist b eine Grenzzahl und gilt P(a) für jede Ordinalzahl a < b, so
gilt auch P(b).

Wie man den dritten Schritt weitergehend zeigt ist mir nicht so ganz
klar. Ergibt sich das einfach aus den Ordinalzahleigenschaften?

http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion





Schade. Es scheint sich niemand hier mit transfiniter Induktion
auszukennen. Aber richtig wundern tut mich das auch nicht. Wenn man
danach googelt verweist die Mehrzahl der Treffer auf den Witz, wie ein
Mathematiker einen Löwen in der Wüste fàngt. Per transfiniter Induktion
wird eigentlich nichts rechtes bewiesen, oder? Die paar relevanten
Treffer verweisen auf rein abstrakte, sehr unkonkrete Darstellungen.
Insbesondere finde ich keine anschaulichen Beispiele. Für was ist die
transfinite Induktion eigentlich gut, außer für dir Legitimierung des
Transfiniten per se?

Schöne Grüße
Albrecht

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