Transformation, Generatoren

21/01/2009 - 15:58 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo zusammen

In Introduction to Chiral Perturbation Theory von Stefan Scherer
(arXiv:hep-ph/0210398 v1) steht auf S. 67 zu Beginn des Abschnittes 3.3
folgendes:

Given a Hamilton operator with a global symmetry group G = SO(3), let
\vec{\phi}(x) = (\phi_1(x),...,\phi_3(x)) denote a triplet of local
Hermitian operators transforming as a vector under G,

\vec{\phi}(x) --> \vec{\phi}'(x)=exp[i a_k Q_k] \vec{\phi}(x) exp[-i a_l
Q_l] = exp[-i a_k T_k] \vec{\phi}(x),

where the Q_i are the generators of the SO(3) transformations on the
Hilbert space satisfying [Q_i,Q_j]=i\epsilon_{ijk}Q_k and the
T_i=(t^i_{jk}) are the matrices of the three dimensional representation
satisfying t^i_{jk}=-i\epsilon_{ijk}.

Mir ist nun nicht klar, warum unter der Verwendung der Q_i der
exp[]-Ausdruck von rechts wie von links an das zu transformierende
Objekt \vec{\phi}(x) multipliziert werden muss, wàhrend unter der
Verwendung der T_i ein exp[]-Ausdruck von links genügt. Was ist der
Unterschied zwischen den beiden Darstellungen?

Die Frage làuft auch auf folgendes hinaus: Wieso transformiert z.B. ein
Spinor \Psi unter einer Lorentztransformation \Lambda wie \Psi' =
U(\Lambda)\Psi, obschon \Psi doch ein Operator ist und ich daher etwas
wie \Psi' = U(\Lambda) \Psi U^{-1}(\Lambda) erwarte?

Vielen Dank schon mal für Hinweise oder Erklàrungen!

Daniel
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
21/01/2009 - 17:21 | Warnen spam
Daniel Arnold wrote:

Hallo zusammen

In Introduction to Chiral Perturbation Theory von Stefan Scherer
(arXiv:hep-ph/0210398 v1) steht auf S. 67 zu Beginn des Abschnittes
3.3 folgendes:

Given a Hamilton operator with a global symmetry group G = SO(3),
let \vec{\phi}(x) = (\phi_1(x),...,\phi_3(x)) denote a triplet of
local Hermitian operators transforming as a vector under G,

\vec{\phi}(x) --> \vec{\phi}'(x)=exp[i a_k Q_k] \vec{\phi}(x) exp[-i
a_l Q_l] = exp[-i a_k T_k] \vec{\phi}(x),

where the Q_i are the generators of the SO(3) transformations on the
Hilbert space satisfying [Q_i,Q_j]=i\epsilon_{ijk}Q_k and the
T_i=(t^i_{jk}) are the matrices of the three dimensional
representation satisfying t^i_{jk}=-i\epsilon_{ijk}.

Mir ist nun nicht klar, warum unter der Verwendung der Q_i der
exp[]-Ausdruck von rechts wie von links an das zu transformierende
Objekt \vec{\phi}(x) multipliziert werden muss, wàhrend unter der
Verwendung der T_i ein exp[]-Ausdruck von links genügt. Was ist der
Unterschied zwischen den beiden Darstellungen?



Die Einteilchen-Zustandsvektoren transformieren sich gemàß

psi->psi'=exp(i T^i a_i) psi

Operatoren, insbesondere Feldoperatoren entsprechend gemàß

\vec{phi}->\vec{phi}'=exp(i Q^i a_i) \vec{phi} exp(-i Q^i a_i)
=exp(i T^i a_i) \vec{phi}.

Dabei ist zu beachten, daß die Q^i Operatoren, die T^i c-Zahlen
3x3-Matrizen sind. Die Q^i sind übrigens die Noetherladungen der zur
SO(3)-Symmetrie gehörigen Symmetrieoperatoren. Diese sind durch
ràumliche Integrale über die 0-Komponente des dazugehörigen
Noetherstroms gegeben, selbst also durch die Feldoperatoren
ausdrückbare Größen.


Die Frage làuft auch auf folgendes hinaus: Wieso transformiert z.B.
ein Spinor \Psi unter einer Lorentztransformation \Lambda wie \Psi'
= U(\Lambda)\Psi, obschon \Psi doch ein Operator ist und ich daher
etwas wie \Psi' = U(\Lambda) \Psi U^{-1}(\Lambda) erwarte?



Das ist genau analog wie in dem obigen Beispiel: Einerseits sind die
Lorentztransformationen als Operatoren im Fockraum gegeben. Die
Erzeuger sind Drehimpuls-Schwerpunktstensoroperatoren, die man wieder
aus dem Noethertheorem als ràumliche Integrale über die
entsprechenden Dichten erhàlt und letztlich durch Feldoperatoren
ausdrückt. Andererseits transformieren sich per constructionem in
einer lokalen QFT die Feldoperatoren so wie man es naiv erwartet. Es
ist allerdings zu beachten, daß U(\Lambda) i.a. nicht unitàr zu sein
braucht. Unitàr sind freilich die Fockraumtransformationen, die durch
hermitesche Noetherladungen ausdrückbar sind.

Nàheres s. mein QFT-Skript auf meiner Homepage

http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf



Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

Ähnliche fragen