"Trennbarkeit" einer Matrix

19/11/2008 - 20:53 von Andreas Weishaupt | Report spam
Hallo!

Meine Algebrakurse sind doch etwas weit zurück. Könnt ihr mir etwa
helfen? Ich habe gegoogelt, aber fand kein Theorem, das mir weiter
helfen konnte.

Es sei die Matrix einer diskreten Version des 2D-Laplace-Operators:

L_c = [ 1+c/4 -1-c/2 1+c/4;
-1-c/2 c -1-c/2;
1+c/4 -1-c/2 1+c/4 ]

wobei c in IR.

Weshalb ist diese Matrix nicht durch ein àusseres Vektorprodukt A =
<u^T,v> mit u,v in IR^3 darstellbar (Beweis)? Spontan hàtte ich gesagt:
L_c besitzt zwei linear *abhàngige* Spalten/Zeilen, A keine; deshalb
kann A niemals L_c "darstellen". Kann man das nicht eleganter demonstrieren?

Vielen Dank für eure Hilfe

Andreas
 

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#1 Ulrich Lange
20/11/2008 - 19:08 | Warnen spam
Andreas Weishaupt schrieb:

Es sei die Matrix einer diskreten Version des 2D-Laplace-Operators:

L_c = [ 1+c/4 -1-c/2 1+c/4;
-1-c/2 c -1-c/2;
1+c/4 -1-c/2 1+c/4 ]

wobei c in IR.

Weshalb ist diese Matrix nicht durch ein àusseres Vektorprodukt A > <u^T,v> mit u,v in IR^3 darstellbar (Beweis)?



Komische Notation. Ich würde das àussere Vektorprodukt eher mit
u*v^T bezeichnen. Aber Hauptsache, wir sind uns einig, daß

+- -+
| u1 v1, u1 v2, u1 v3 |
| |
A= | u2 v1, u2 v2, u2 v3 |
| |
| u3 v1, u3 v2, u3 v3 |
+- -+

gemeint ist. Eine Beweisidee ist: Annahme A=L_C. Bilde die Spaltensummen
von A bzw. L_C. Diese müssen natürlich auch gleich sein, d.h.
gelten:

v1*(u1+u2+u3) = 1
v2*(u1+u2+u3) = -2
v3*(u1+u2+u3) = 1

Offensichtlich muß also u1+u2+u3 ungleich Null sein, sonst stünde da:
0 = 1 = -2. Weiter folgt aus diesen Bedingungen

v1=v3 und v2=-2*v1 (und damit insbesondere v1+v2+v3 = 0)

Wenn Du jetzt analog die Zeilensummen bildest, siehst Du einen Widerspruch.

Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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