Trigonometrie

23/08/2014 - 15:35 von Roland Franzius | Report spam
Machmal gibt es haufenweise merkwürdige Identitàten, diesmal vom
mathematischen Pendel.

Zeige, dass für alle x \in |R gilt

arcsin( tanh (x) )
= arctan ( sinh (x) )
= 2 arctan( tanh( x/2 ))
= 2 arctan(e^x) - pi/2


Roland Franzius
 

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#1 Oliver Jennrich
23/08/2014 - 16:05 | Warnen spam
Roland Franzius writes:

Machmal gibt es haufenweise merkwürdige Identitàten, diesmal vom
mathematischen Pendel.

Zeige, dass für alle x \in |R gilt

arcsin( tanh (x) )
= arctan ( sinh (x) )
= 2 arctan( tanh( x/2 ))
= 2 arctan(e^x) - pi/2




Nur mal die erste Identitàt - und nur für -pi/2<x<pi/2 (der Rest ist dann
ohnehin langweilig):

tanh(x) = sin(arctan( sinh(x) )

Weil tan(x)=sin(x)/cos(x) und cos(x) = 1/Wurzel(1+tan^2(x)) ist
sin(x) = tan(x)/Wurzel(1+tan^2(x))

und damit

sin(arctan( sinh(x) )) = sinh(x)/Wurzel( 1 + sinh^2(x)) sinh(x)/cosh(x) = tanh(x)

usw.


Space - The final frontier

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