Tychonoff

23/06/2008 - 10:41 von christian.palmes | Report spam
Hallo,

Kann mir jemand eine Beweisskizze für folgenden Sachverhalt nennen?

Sei I eine bel. Indexmenge, und X_i endliche Mengen, versehen mit der
diskreten Topologie.

Dann ist die Produkttopologie Produkt(X_i, i elem I) kompakt.

Es geht mir um einen elementaren Beweis, d.h. der Satz von Tychonoff
soll nicht benutzt werden.

Gruß Christian
 

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#1 Volker Boie
23/06/2008 - 15:26 | Warnen spam
On 23 Jun., 10:41, wrote:
Hallo,

Kann mir jemand eine Beweisskizze für folgenden Sachverhalt nennen?

Sei I eine bel. Indexmenge, und X_i endliche Mengen, versehen mit der
diskreten Topologie.

Dann ist die Produkttopologie Produkt(X_i, i elem I) kompakt.

Es geht mir um einen elementaren Beweis, d.h. der Satz von Tychonoff
soll nicht benutzt werden.

Gruß Christian



Sei G_j, j aus einer Indexmenge J, eine offene Überdeckung von Prod_i
X_i. Wàhle ein x=(x_i)_i im Produkt. Dann liegt x in einer
produktoffenen Umgebung, die in einem G_j enthalten ist. Diese
Umgebung ist aber von der Form Prod_i F_i, wobei für alle bis endlich
viele F_i = X_i gilt. Damit bleiben dir aber nur noch endlich viele
"Koordinaten" i mit endlichen Mengen X_i über, die Du überdecken
musst...

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