Typen von Singularitäten: Ist mein "Schema" sinnvoll?

23/08/2009 - 19:25 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

ich habe meine Frage wieder getext:

http://www.airlich.de/Semester4/Fra...taeten.pdf

Ich danke für die Antworten, die ich zu meinen gestrigen Fragen
bekommen habe; ich bin teilweise noch am Nachvollziehen und
Nachrechnen und habe es deshalb noch nicht geschafft, zu antworten.

Danke und Gruß!

Alexander
 

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#1 Stephan Gerlach
24/08/2009 - 21:16 | Warnen spam
Alexander Erlich schrieb:

ich habe meine Frage wieder getext:

http://www.airlich.de/Semester4/Fra...taeten.pdf



Grundsàtzlich ist es ja immer möglich, anhand der Laurentreihe einer
bestimmten Funktion - sofern man die Laurentreihe hat - die Singularitàt
sofort abzulesen. Also das würde ich immer als erstes probieren. Z.B.
f(z) = e^(1/z)*z²
Da ist mit Laurentreihe leicht einsichtig, daß f(z) eine wesentliche
Singularitàt bei z_0 = 0 hat.

1.) Hebbar: Um "hebbar oder nicht" zu entscheiden, kann man manchmal -
wenn man nicht an die Laurentreihe kommt - auch mit Beschrànktheit (bzw.
Existenz oder Nicht-Existenz eines Grenzwertes) der betreffenden
Funktion an z_0 argumentieren.

2.) Polstelle: Die von dir erwàhnte Formel gibt an, wie man das Residuum
einer Funktion berechnen kann, von der man bereits weiß(!), daß sie bei
z_0 eine m-fache(!) Polstelle hat. Wenn man aber *nicht* weiß, ob die
Funktion an z_0 eine Polstelle hat (geschweige denn die Ordnung der
Polstelle), dann kriegt man mit der Formel gar kein Residuum raus.

Allerdings kann man natürlich den Limes trotzdem - wenn möglich, für
allgemeines m - versuchen auszurechnen und gucken, ob was rauskommt.

3.) Wesentliche Singularitàten: Also hier würde ich auch empfehlen,
irgendwie an die Laurentreihe zu kommen. Es muß ja nicht mal die gesamte
Laurentreihe sein; es reicht, wenn man was über deren "kleinsten
Exponent" (der bei einer wesentlichen Singularitàt nicht existiert)
weiß. Zur Not muß man eben auf die Definition der wesentlichen
Singularitàt zurückgreifen.

4.) Evtl (vielleicht aber auch nicht...) hast du was vergessen; mal als
Beispiele (beide Male Hauptwert nehmen)
a) Welchen Typ Singularitàt hat f(z) = Ln(z) bei z_0 = 0?
b) Welchen Typ Singularitàt hat f(z) = sqrt(z) bei z_0 = 0?


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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