U-Rohr mit Wasser, rücktreibende Kraft

08/12/2014 - 01:59 von Stephan Gerlach | Report spam
Gegeben sei ein U-Rohr mit konstanter Querschnittsflàche. Darin sei eine
ideale Flüssigkeit (wir nehmen vereinfachend an, es sei Wasser). Daas
Wasser befinde sich in der Ruhelage, d.h. auf beiden Seiten des Rohres
gleich hoch.

Das Wasser werde nun um den Weg y aus der Ruhelage ausgelenkt. Dadurch
steht das Wasser auf der einen Seite 2*y höher als auf der anderen,
siehe z.B. <http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserpendel>.
Dort wird dann u.a. behauptet, die rücktreibende Kraft F, die auf das
gesamte(!) Wasser wirkt, sei die Gewichtskraft der überstehenden
Wassersàule, also

F = m*g = rho * A * 2 * y * g

mit

rho = Dichte
A = Querschnittsflàche
y = Auslenkung aus der Ruhelage
g = Fallbeschleunigung.

Damit kommt man dann drauf, daß der Vorgang eine harmonische Schwingung
ist usw.
So weit, so gut - das klingt zunàchst erstmal einleuchtend.


Nun aber folgendes Gedankenexperiment:
Was ist, wenn wir auf der rechten Seite (wo zu Beginn das Wasser "unten"
steht) des U-Rohres den Querschnitt vergrößern auf A_2, aber bis auf das
daraus resultierende größere Gesamtvolumen des Wassers alles so lassen?
Gilt dann für die rücktreibende Kraft (die das gesamte Wasser
"antreibt") der Wassersàule links immer noch

F = m*g = rho * A * 2 * y * g?

Wenn ja: Was ist, wenn ich auf der rechten (breiteren) Seite eine
Wassersàule der Höhe 2*y "draufstelle"? Übt diese nicht auch eine
(rücktreibende??!) Kraft
F_2 = m*g = rho * A_2 * 2 * y * g?
auf das gesamte Wasser aus? Ist dann
F_2 > F?
Rein rechnerisch natürlich gilt dies, d.h. F_2 ist größer als F.
Allerdings würde das dann zu der absurden Situation führen, daß die so
konstruierte Wassersàule von einer Kraft F_2 - F beschleunigt würde -
obwohl sie offensichtlich im Gleichgewicht ist! Denn sie ist ja auf
beiden Seiten gleich hoch.


Wo liegt hier der Denkfehler?
Ich habe IMHO einfach die Begründung des Wikipedia-Artikels versucht zu
verallgemeinern.
Was ich vermute: Daß die Begründung dort mit der rücktreibenden Kraft
ungenau ist in der Hinsicht, daß vergessen wurde zu erwàhnen, daß sie
möglicherweise nur bei einem möglichst "einfachen" U-Rohr (symmetrisch,
konstanter Querschnitt) funktioniert.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Hans-Peter Diettrich
08/12/2014 - 13:01 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb:

Das Wasser werde nun um den Weg y aus der Ruhelage ausgelenkt. Dadurch
steht das Wasser auf der einen Seite 2*y höher als auf der anderen,
siehe z.B. <http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserpendel>.
Dort wird dann u.a. behauptet, die rücktreibende Kraft F, die auf das
gesamte(!) Wasser wirkt, sei die Gewichtskraft der überstehenden
Wassersàule, also

F = m*g = rho * A * 2 * y * g


[...]
Damit kommt man dann drauf, daß der Vorgang eine harmonische Schwingung
ist usw.



Im "usw." findet man, daß es sich um eine ideale (quasi-statische)
Betrachtung handelt. In der Praxis kommt zur statischen Energie noch die
dynamische Energie, bei der auch die bewegte Masse, Geschwindigkeit,
Turbulenz, Widerstand, Viskositàt usw. eine nicht vernachlàssigbare
Rolle spielen.

So weit, so gut - das klingt zunàchst erstmal einleuchtend.


Nun aber folgendes Gedankenexperiment:
Was ist, wenn wir auf der rechten Seite (wo zu Beginn das Wasser "unten"
steht) des U-Rohres den Querschnitt vergrößern auf A_2, aber bis auf das
daraus resultierende größere Gesamtvolumen des Wassers alles so lassen?



Wie "so lassen"? Die Zeichnung müßte dann schon deutlich anders
aussehen, mit unterschiedlichem y auf beiden Seiten, relativ zum
ausgeglichenen Zustand. Ich würde empfehlen, eine Null-Linie durch beide
Schenkel zu zeichnen, an der man sich besser orientieren kann.

Gilt dann für die rücktreibende Kraft (die das gesamte Wasser
"antreibt") der Wassersàule links immer noch

F = m*g = rho * A * 2 * y * g?



Betrachte mal das Volumen, das von einer Seite auf die andere fließen
soll (A*2*y), und welchen Höhenunterschied y es im linken und rechten
Schenkel bewirkt. Entsprechend unterscheiden sich die Rückstellkràfte im
linken und rechten oberen Totpunkt.


Wo liegt hier der Denkfehler?
Ich habe IMHO einfach die Begründung des Wikipedia-Artikels versucht zu
verallgemeinern.
Was ich vermute: Daß die Begründung dort mit der rücktreibenden Kraft
ungenau ist in der Hinsicht, daß vergessen wurde zu erwàhnen, daß sie
möglicherweise nur bei einem möglichst "einfachen" U-Rohr (symmetrisch,
konstanter Querschnitt) funktioniert.




Die ganze Rechnung muß an die geànderte Geometrie angepaßt werden, und
was dann herauskommt, kann ich aus dem Stegreif nicht sagen. Ich tippe
aber mal darauf, daß es immer noch eine periodische Schwingung bleibt,
solange alle Dreckeffekte (Reibung, Tràgheit...) vernachlàssigt werden
(s. Wasserschlag, hydraulischer Widder...).

DoDi

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