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U(N), SU(N) und U(1)

30/07/2009 - 15:42 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo

In der Physik wir oft gesagt, dass U(N) = SU(N) x U(1), d.h. ein Element
der unitàren Gruppe kann geschrieben werden als das Produkt eines
Elementes mit Determinante 1 und einer Phase. Nun ist es aber so, dass
es sich hierbei nicht um ein direktes Produkt der beiden Gruppen
handelt, sondern nur um ein semidirektes Produkt. Wie genau sehe ich
das? Wo liegt der Unterschied zum direkten Produkt?

Gruss,
Daniel
 

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#1 Marc Olschok
30/07/2009 - 20:25 | Warnen spam
Daniel Arnold wrote:
Hallo

In der Physik wir oft gesagt, dass U(N) = SU(N) x U(1), d.h. ein Element
der unitàren Gruppe kann geschrieben werden als das Produkt eines
Elementes mit Determinante 1 und einer Phase. Nun ist es aber so, dass
es sich hierbei nicht um ein direktes Produkt der beiden Gruppen
handelt, sondern nur um ein semidirektes Produkt. Wie genau sehe ich
das? Wo liegt der Unterschied zum direkten Produkt?



Beim semidirekten Produkt braucht nur einer der beiden Faktoren ein
Normalteiler zu sein.

In deinem Beispiel ist es erst einmal die gleiche Rechnung wie
für GL(N) = SL(N) x GL(1):

Zu einer Matrix A mit det(A) =/= 0 nimm die Matrix B mit
B_11 = det(A) , B_ii = 1 und B_ij = 0 für i =/= j
und schreibe

A = (A * B') * B wobei B' die Inverse zu B ist.

Dann ist schon einmal det(A*B') = 1.

Falls A in U(N) liegt, hat det(A) Betrag 1 und B liegt in einer
zu U(1) isomorphen Untergruppe von U(n).
Diese Untergruppe hat auch trivialen Durchschnitt mit SU(N).

Wir wissen auch schon, dass SU(N) Normalteiler von U(N) ist, denn
es ist der Kern der Determinantenabbildung.

Aber (die Kopie von) U(1) ist nicht normal in U(n).

Marc

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