Über das Mückenheim'sche Axiom

03/10/2016 - 18:51 von Me | Report spam
"Eine inklusionsmonotone Mengenfolge enthàlt alles, was sie enthàlt, in einem Term." (WM)

Ich interpretiere das (unter Benutzung der üblichen Terminologie der Mathematik/Mengenlehre) so:

Sei (A_n) eine inklusionsmonotone Mengenfolge, dann gibt es ein k e IN, so dass

U A_n c A_k gilt.
neIN

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Man kann leicht zeigen, dass dieses "Axiom" im Kontext der klassischen Mathematik / Mengenlehre (d. h. wenn man es zu den bestehenden Axiomen hinzunimmt) auf einen Widerspruch führt:

Sei (A_n) die Mengenfolge mit A_n = {1, ..., n} (n e IN). Diese Mengenfolge ist inklusionsmonoton, denn es gilt: An e IN: A_n c A_(n+1).

Sei nun k irgendeine bel. natürliche Zahl, dann ist k+1 e A_(k+1) und damit k+1 e U A_n. Andererseits ist k+1 !e A_k. Daher gilt U A_i !c A_k. Da k eine bel. natürliche Zahl war, gilt Ak e IN: U A_n !c A_k bzw. ~Ek e IN: U A_n c A_k.

(A_n) ist also eine inklusionsmonotone Mengenfolge, für die es KEIN k e IN gibt, so dass

U A_n c A_k gilt.
neIN
 

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#1 Me
03/10/2016 - 19:47 | Warnen spam
On Monday, October 3, 2016 at 6:51:35 PM UTC+2, Me wrote:

Kleine Pràzisierung.

"Eine inklusionsmonotone Mengenfolge enthàlt alles, was sie enthàlt,
in einem Term." (WM)

Ich interpretiere das (unter Benutzung der üblichen Terminologie der Mathematik/Mengenlehre) so:

Sei (A_n)_(n e IN) eine inklusionsmonotone Mengenfolge, dann gibt es ein k e IN, so dass

U A_n c A_k gilt. (*)
neIN



Man kann leicht zeigen, dass dieses "Axiom" im Kontext der klassischen Mathematik / Mengenlehre (d. h. wenn man es zu den bestehenden Axiomen hinzunimmt) auf einen Widerspruch führt:

Sei (A_n)_(n e IN) die Mengenfolge mit A_n = {1, ..., n} (n e IN). Diese Mengenfolge ist inklusionsmonoton, denn es gilt: An e IN: A_n c A_(n+1).

Sei nun k irgendeine bel. natürliche Zahl, dann ist k+1 e A_(k+1) und damit k+1 e U A_n. Andererseits ist k+1 !e A_k. Daher gilt U A_i !c A_k. Da k eine bel. natürliche Zahl war, gilt Ak e IN: U A_n !c A_k bzw. ~Ek e IN: U A_n c A_k.

(A_n)_(n e IN) ist also eine inklusionsmonotone Mengenfolge, für die es KEIN k e IN gibt, so dass

U A_n c A_k gilt.
neIN

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