Über die Kümmung des Raumes

08/03/2011 - 11:24 von Peter Michalicka | Report spam
Die Feldgleichung der Gravitation wird wie folgt angegeben:

R_ik - R/2*g_ik - lambda*g_ik = kappa*T_ik

Aber eigentlich ist die Gravitation die Krümmung des Raumes also:

R_ik = kappa*T_ik

Wenn man die o.g. Gleichung mit Maple/Grtensor auflöst, erhàlt man die
folgenden beiden Friedmann-Gleichungen:

-(2*R'^2/R^2 + 2*k*c^2/R^2 + R"/R) = -kappa*p

und

-3*R"/R = kappa*rho*c^2

Für k = 0 und rho=3*M/(4*pi*R^3) und G*M/R^3 = 1/t^2 erhàlt man:

R"/R = -2/t^2

und

R'^2/R^2 = 4*pi*G/3(rho+3*p/c^2) = 2/t^2
 

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#1 Gregor Scholten
08/03/2011 - 14:56 | Warnen spam
On 8 Mrz., 11:24, Peter Michalicka wrote:
Die Feldgleichung der Gravitation wird wie folgt angegeben:

R_ik - R/2*g_ik - lambda*g_ik = kappa*T_ik

Aber eigentlich ist die Gravitation die Krümmung des Raumes



eher der Raumzeit. Deswegen laufen die Indizes i,k auch von 0 bis 3,
nicht von 1 bis 3.


also:

R_ik = kappa*T_ik



inwiefern soll das denn jetzt daraus folgen? Die bloße Information,
dass die Gravitation die Krümmung der Raumzeit sein soll, ergibt noch
keine Aussage darüber, welche Terme jetzt genau in der Feldgleichung
aufzutauchen haben. Es gibt erstmal eine ganze Reihe von Kandidaten.
Da wàre zunàchst der Riemannsche Krümmungstensor R_ijkl. Der wàre
allerdings ungünstig, da die Gravitation respektive Krümmung ja auch
im materiefreien Raum (z.B. um einen Himmelskörper herum) vorhanden
sein soll, d.h. der Krümmungstensor soll auch da von null verschieden
sein können, wo jeder Term, der die Materie beschreiben könnte, null
wàre.

Der von dir angedachte Ricci-Tensor R_ik wàre da schon eher geeignet,
zumindest in >= 4 Dimensionen ist der Fall möglich, dass der Ricci-
Tensor an Stellen null ist, wo die Krümmung nicht verschwindet. Der
Ricci-Tensor würde auch von einer Symmetrieüberlegung her passen: in
der Elektrostatik ist das Potential ein Skalar, und in der Coulomb-
Gleichung steht ebenfalls ein Skalar, nàmlich die Divergenz des
elektrischen Feldes respektive der Laplacian des Potantials, in der
Elektrodynamik ist das Potential ein Vierervektor, und in den
Maxwellgleichungen (in Lorentzeichung) steht der d'Alembertian dieses
Vierervektors, der ebenfalls ein Vierervektor ist, da liegt es nahe,
dass in der ART, wo das Potential ein Tensor 2. Stufe ist (der
metrische Tensor), in den Feldgleichungen ebenfalls ein Tensor 2.
Stufe steht, dessen Beziehung zum Potential ebenfalls dem Laplacian
àhnelt.

Leider hat der Ricci-Tensor die unschöne Eigenschaft, nicht
divergenzfrei zu sein. Wenn man jetzt annimmt, dass auf der rechten
Seite so etwas wie der Energie-Impuls-Tensor steht, der eigentlich
divergenzfrei sein sollte (wegen lokaler Energie- und
Impulserhaltung), dann passt der Ricci-Tensor nicht, jedenfalls nicht
er alleine. Da hatte Einstein dann die Idee, ihn durch Hinzufügen
eines Terms divergenzfrei zu machen, dabei kam dann der Einstein-
Tensor

G_ik = R_ik - R/2 g_ik

heraus. Und darum bildet der die linke Seite der Feldgleichung. Der
kosmologische Term mit der kosmologischen Konstanten Lambda wurde von
Einstein erst spàter hinzugefügt.

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