Forums Neueste Beiträge
 

Über einige Sätze aus Bertrand Russells "Mathematics and the Metaphysicians" (Teil 2)

03/05/2016 - 17:19 von WM | Report spam
7) He (Leibniz) was prevented from succeeding by respect for the authority of Aristotle, whom he could not believe guilty of definite, formal fallacies; but the subject which he had desired to create now exists, in spite of the patronising contempt with which his schemes have been treated by all superior persons.

Interessant. So etwas gibt es also.

8) The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as to leave no longer the slightest doubt of difficulty. This achievement is probably the greatest of which our age has to boast.

Falsch. Vergleiche Kapitel VI in
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

9) The proofs favourable to infinity, on the other hand, involved no principle that had evil consequences.

Nanu? Er erwàhnt doch selbst Tristram Shandy etwas spàter im Text! Er bemerkt aber nicht, dass allein der mathematische Grenzwert der Kardinalitàten über das Ergebnis entscheidet? This is an instance of the amazing power of desire in blinding even very able men to fallacies which would otherwise be obvious at once." [Bertrand Russell: "What I believe" aus "Why I Am Not A Christian and Other Essays on Religion and Related Subjects", (Paul Edwards, ed.), London: George Allen & Unwin (1957)]

10) There are exactly as many fractions as whole numbers.

In der Mathematik ist das beweisbar falsch. Siehe: Not enumerating all positive rational numbers (formal approach) in
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

11) There is a greatest of all infinite numbers, which is the number of things altogether, of ever sort and kind. It is obvious that there cannot be a greater number than this, because, if everything has been taken, there is nothing left to add. Cantor has a proof that there is no greatest number, and if this proof were valid, the contradictions of infinity would reappear in a sublimated form. But in this one point, the master has been guilty of a very subtle fallacy, which I hope to explain in some future work.

Natürlich. Cantor verschiebt das potentiell Unendliche lediglich aus dem Bereich der natürlichen Zahlen in den Bereich der transfiniten Ordinalzahlen. Alle Probleme, die dem potentiell Unendlichen (zu Unrecht) angedichtet werden, müssen so "am Ende" wieder erscheinen. Russell war wàhrend der Niederschrift des Artikels noch in einem rational gepràgten Zustand.

12) Note added in 1917: Cantor was not guilty of a fallacy in this point.

Schade. Nun hatte er einmal etwas Richtiges erkannt und widerruft es.

13) But if Achilles were to overtake the tortoise, he would have been in more places than the tortoise, but we saw that he must, in any period, be in exactly as many places as the tortoise.

Non sequitur.

14) This paradoxical but perfectly true proposition depends upon the fact that the number of days in all time is no greater than the number of years.

Falsch: Der Faktor betràgt ungefàhr 365 für jedes Zeitintervall, das man überprüfen kann. Unüberprüfbare Resultate, sogenannte Glaubenssàtze gehören allenfalls zur schmutzigen Mathematik, niemals zur reinen.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Me
03/05/2016 - 19:58 | Warnen spam
On Tuesday, May 3, 2016 at 5:20:01 PM UTC+2, WM wrote:

8) The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as
to leave no longer the slightest doubt of difficulty.



Absolut korrekt. So ist es. Aber dazu müsste man halt mit Mathematik "vertraut" sein; etwas was Sie, Herr Mückemheim, offenbar nicht sind.

This achievement is probably the greatest of which our age has to boast.



Nun ja, Russell als Philosoph und Mathematiker mag es so gesehen haben. Es ist jedenfalls eine bedeutende Leistung (Cantors), ohne jede Frage. Ähnlich der Freges auf logischem Gebiet. Zusammen mit Dedekinds Beitràgen haben diese 3 wohl "das Unendliche" in der Mathematik etabliert. :-)

"Cantor hat nun im Verfolg dieser Gedanken die Theorie der trans-
finiten Zahlen aufs erfolgreichste ausgebaut und einen vollstàndigen
Kalkül für dieselben geschaffen. So wurde schließlich durch die
gigantische Zusammenarbeit von Frege, Dedekind, Cantor das Unendliche
auf den Thron gehoben und genoß die Zeit des höchsten Triumphes. Das
Unendliche war in künstem Fluge auf eine schwindelnde Höhe des
Erfolges gelangt."

(Hilbert, Das Unendliche, 1925)

Russell, Zermelo und andere haben dann "den Bau abgesichert".

Falsch.



Ja, ja, ist ja schon Recht, Herr Mückenheim. Immer kràftig mit dem Fuß aufstampfen, dann wird das was!

9) The proofs favourable to infinity, on the other hand, involved no
principle that had evil consequences.



Nun ja, wie wir wissen, gab's da schon einige Fallstricke - am Anfang.

Aber mit

Tristram Shandy



hat das nichts zu tun.

10) There are exactly as many fractions as whole numbers.

In der Mathematik ...



ja, ja, genau, in der Mathematik. Die Mengen IN und Q sind gleichmàchtig, besitzen dieselbe Cardinalitàt.

Interessant ist das nun:

11) There is a greatest of all infinite numbers, which is the number of
things altogether, of ever sort and kind. It is obvious that there cannot
be a greater number than this, because, if everything has been taken,
there is nothing left to add. Cantor has a proof that there is no greatest
number, and if this proof were valid, the contradictions of infinity would
reappear in a sublimated form.



So ist es. Also muss man hier aufpassen.

Wenn es wirklich so etwas wie eine "Allmenge" A geben sollte, kann ja P(A) nicht mehr Elemente/Mengen enthalten als A schon enthàlt.

Andererseits hat Cantor gezeigt, dass für jede Menge M gilt, dass P(M) màchtiger ist als M.

Im Kontext der ZFC gibt es hier natürlich kein Problem, den hier g i b t es eben einfach k e i n e Allmenge (das kann man auch anders folgern).

But in this one point, the master has been guilty of a very subtle
fallacy, which I hope to explain in some future work.



Glaub' ich eher nicht.

12) Note added in 1917: Cantor was not guilty of a fallacy in this point.



Sag ich doch.

Wie ich übrigens schon im letzten Thread angemerkt hatte: "Russell hat wàhrend seiner Laufbahn als Mathematiker/Philosoph viel gesagt, was er spàter wieder relativiert oder gar zurückgenommen hat. Er war eben nicht nur Mathematiker sondern auch Philosoph."

13) But if Achilles were to overtake the tortoise, he would have been in
more places than the tortoise, but we saw that he must, in any period, be
in exactly as many places as the tortoise.



Scheint so zu sein. Aber endlich viel "more Places" spielen offenbar "im Unendlichen" auch keine Rolle mehr. (Für bel. n e IN: aleph_0 = alehp_0 + n.)

14) This paradoxical but perfectly true proposition depends upon the fact
that the number of days in all time is no greater than the number of
years.



Ja. "Im Unendlichen" spielt eben auch ein "konstanter Faktor" keine Rolle mehr.

So ist eben z. B. {1, 2, 3, , ...} ~ {2, 4, 6, ...}, d. h. beide Mengen sind gleichmàchtig. Daher card({1, 2, 3, , ...}) = card({2, 4, 6, ...}), obwohl offenbar in der Menge {2, 4, 6, ...} nur jede "2te" Zahl aus der Menge {1, 2, 3, , ...} enthalten ist (wenn man die Zahlen der Größe nach anordnet und betrachtet).

Lassen wir diesbezüglich doch den Meister selbst zu Wort kommen:

"Sei M die Gesamtheit (nü) aller endlichen Zahlen nü, M' die
Gesamtheit (2nü) aller geraden Zahlen. Hier ist unbedingt richtig, daß
M seiner Entitàt nach reicher ist, als M'; enthàlt doch M außer den
geraden Zahlen, aus welchen M' besteht, noch außerdem alle ungeraden
Zahlen M''. Andererseits ist ebenso unbedingt richtig, daß den beiden
Mengen M und M' nach Nr. 2 und 3 dieselbe Kardinalzahl zukommt. Beides
ist sicher und keines steht dem anderen im Wege, wenn man nur auf die
Distinktion von Realitàt und Zahl achtet. Man muß also sagen: die
Menge M hat mehr Realitàt wie M', weil sie M' und außerdem M'' als
Bestandteile enthàlt; die den beiden Mengen M und M' zukommenden
Kardinalzahlen sind aber gleich. Wann endlich werden alle Denker
diese so einfachen und einleuchtenden Wahrheiten (gewiß nicht zu ihrem
Nachteile) anerkennen?"

Ähnliche fragen