Über potentiell und aktual unendlich in der Mengenlehre.

24/05/2015 - 11:34 von WM | Report spam
Modernen Mengenlehrer behaupten gern, es gàbe nur endlich und unendlich, ohne weitere Qualifikationen. Das ist falsch. Ohne die aktual unendliche Ziffernfolge könnte eine Dezimalzahl nicht als irrational erkannt werden, zum Beispiel die berühmte Diagonalzahl einer Liste aller rationalen Zahlen.

Die aktuale, d.h. vollendete Unendlichkeit wird also benötigt, aber manchmal auch nicht, wie im Folgenden gezeigt wird.

Die Abzàhlung aller positiven Brüche mathematisch betrachtet.

Die Brüche 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ... werden abgezàhlt, indem dem Bruch 1/1 die natürliche Zahl 1 zugeordnet wird. Da im Intervall (0, 1) keine weitere natürliche Zahl vorhanden ist, müssen allen rationalen Zahlen aus diesem Intervall größere natürliche Zahlen zugeordnet werden. Dem Bruch 1/2 wird die natürliche Zahl 2 zugeordnet. Da im Intervall (0, 2] keine weitere natürliche Zahl vorhanden ist, müssen allen rationalen Zahlen aus dem Intervall (1, 2] größere natürliche Zahlen zugeordnet werden. Keinem Bruch aus diesem Intervall ist bisher eine natürliche Zahl zugeordnet worden. Und so geht es weiter. Die Zahl der Intervalle, deren natürliche Zahlen verwendet wurden, deren Brüchen aber überhaupt noch keine natürliche Zahl zugeordnet wurde, wàchst stàndig und strebt gegen unendlich.

Die Mengenlehrer, die das aktual Unendliche anerkennen, behaupten nun, dass die Folge nicht mit den in der Mathematik bekannten analytischen Mitteln wie etwa dem Minorantenkriterium untersucht werden kann, sondern dass "am Ende" allen Brüchen eine natürliche Zahl zugeordnet worden ist. Man könnte ebensogut behaupten, dass sich am Ende das Paradies öffnet. Mathematisch sind beide Behauptungen falsch.

Andere Mengenlehrer behaupten dagegen, dass das aktual Unendliche in der Mengenlehre keine Rolle spielt und die Zuordnung bis zu jeder natürlichen Zahl ausreicht, um die Vollstàndigkeit zu beweisen. Dies ist der Trick, mit dem sich die trabsfinite Mengenlehre immer wieder der Widerlegung zu entziehen sucht: Bei Bedarf auf potentiell unendlich umschalten. Wie oben gezeigt, funktioniert er nicht, doch lassen sich bisher die meisten Mathematiker davon tàuschen.

Ob Pfingsten die Erkenntnis bringt?

Gruß, WM
 

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#1 Pirx42
24/05/2015 - 14:28 | Warnen spam
Am 24.05.2015 um 11:34 schrieb WM:
Modernen Mengenlehrer behaupten gern, es gàbe nur endlich und unendlich, ohne weitere Qualifikationen. Das ist falsch. Ohne die aktual unendliche Ziffernfolge könnte eine Dezimalzahl nicht als irrational erkannt werden, zum Beispiel die berühmte Diagonalzahl einer Liste aller rationalen Zahlen.

Die aktuale, d.h. vollendete Unendlichkeit wird also benötigt, aber manchmal auch nicht, wie im Folgenden gezeigt wird.

Die Abzàhlung aller positiven Brüche mathematisch betrachtet.

Die Brüche 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ... werden abgezàhlt, indem dem Bruch 1/1 die natürliche Zahl 1 zugeordnet wird. Da im Intervall (0, 1) keine weitere natürliche Zahl vorhanden ist, müssen allen rationalen Zahlen aus diesem Intervall größere natürliche Zahlen zugeordnet werden. Dem Bruch 1/2 wird die natürliche Zahl 2 zugeordnet. Da im Intervall (0, 2] keine weitere natürliche Zahl vorhanden ist, müssen allen rationalen Zahlen aus dem Intervall (1, 2] größere natürliche Zahlen zugeordnet werden. Keinem Bruch aus diesem Intervall ist bisher eine natürliche Zahl zugeordnet worden. Und so geht es weiter. Die Zahl der Intervalle, deren natürliche Zahlen verwendet wurden, deren Brüchen aber überhaupt noch keine natürliche Zahl zugeordnet wurde, wàchst stàndig und strebt gegen unendlich.

Die Mengenlehrer, die das aktual Unendliche anerkennen, behaupten nun, dass die Folge nicht mit den in der Mathematik bekannten analytischen Mitteln wie etwa dem Minorantenkriterium untersucht werden kann, sondern dass "am Ende" allen Brüchen eine natürliche Zahl zugeordnet worden ist. Man könnte ebensogut behaupten, dass sich am Ende das Paradies öffnet. Mathematisch sind beide Behauptungen falsch.

Andere Mengenlehrer behaupten dagegen, dass das aktual Unendliche in der Mengenlehre keine Rolle spielt und die Zuordnung bis zu jeder natürlichen Zahl ausreicht, um die Vollstàndigkeit zu beweisen. Dies ist der Trick, mit dem sich die trabsfinite Mengenlehre immer wieder der Widerlegung zu entziehen sucht: Bei Bedarf auf potentiell unendlich umschalten. Wie oben gezeigt, funktioniert er nicht, doch lassen sich bisher die meisten Mathematiker davon tàuschen.

Ob Pfingsten die Erkenntnis bringt?

Gruß, WM



Ja, dann bitte einen Bruch angeben, dem keine natürliche ZAHL ZUGEORDNET werden kann. Wir wollen doch nicht im
Wolkenkuckucksheim der Matheologen rumwerken, sondern konstruktive Mückemathik machen, die explizit sagt, wo der Hammer
hàngt und der Bartel den Most holt.

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