Übungsaufgabe

30/04/2010 - 21:27 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Hallo,

heute überraschte mich folgende "Knobelaufgabe", die für 2. Semester in
einer nichtmathematischen Ingenieurausbildung gestellt wurde: (Thema:
Komplexe Zahlen)

exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x) ist altbekannt,

exp(i*x)=exp(i*(x+2*pi))=cos(x+2*pi)+i*sin(x+2*pi)=exp(i*(x-2*pi))

Aus x=0 folgt exp(i*0)=exp(0)=1=exp(i*2*pi)=exp(-i*2*pi)

1^i=exp(0)^i=exp(0*i)=exp(0)=1

1^i=exp(i*2*pi)^i=exp(i*2*pi*i)=exp(i^2*2*pi)=exp(-2*pi)

Also 1=exp(-2*pi)=0,00187...

(Hoffentlich habe ich mich in diesem Zeichenwirrwarr nicht vertippt.) Wo ist
der Fehler - so die Aufgabe?
Mein Problem ist:

Jemand, der gerade erst in die "Gauߎsche"-Ebene eingetreten ist, sehr
neugierig ist aber noch nicht weiß, wie die Potenz aus "komplexe Zahl hoch
komplexe Zahl" funktioniert, kann aus meiner Sicht nicht auf eine korrekte
Begründung kommen. Wie sollte methodisch vorgegangen werden, um dem
Einsteiger Klarheit zu verschaffen?

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
 

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#1 Andreas Mattheiss
30/04/2010 - 23:55 | Warnen spam
Hallo,

das ist eine beliebte "Hmmmm?"-Aufgabe, die es in einer Menge Varianten
gibt.

Der casus cnaxus ist das hier:

1^i=exp(0)^i=exp(0*i)=exp(0)=1

Hier verwendest Du die Dir aus dem Reellen bekannte Rechenregel

a^b = exp(ln(a)^b) = exp(b*ln(a))

Im Reellen stimmt das auch generell, sofern a<>0. Der Haken ist, daß der
Logarithmus im Complexen nicht mehr eindeutig ist, denn

sowohl l1 = ln |a| + i*phi
als auch l2 = ln |a| + i*phi + 2*pi
und allgemein lk = ln|a| + 2k*pi; k eine ganze Zahl lösen exp(lk)=a.
Statt lk schreibt man Ln - wohlgemerkt ein großes "L".

In Deinem Fall: a=1, aber es gilt eben ln(1) = ln|1| + i*0 = 0 (Probe:
exp(0)=1), aber auch ln(1) = ln(exp(2*pi*i)) = ln|1| + i*0 + 2*pi*i

Das erfordert, daß die complexe Ebene làngs der negativen Imaginàren
Achse aufgeschlitzt werden muss, um Eindeutigkeit zu erzielen - man nennt
dies dann den Hauptzweig des natürlichen Logarithmus

ln(z) = ln|z| + i*phi; -pi < phi <= pi

jetzt mit kleinem "l". Die aus dem Reellen bekannten Rechengesetze bleiben
im Complexen nur dann gültig, wenn der entsprechende Zweig verwendet
wird. ln|1| + i*0 liegt im Hauptzweig, ln|1| + i*0 + 2*pi*i nicht, und so
kommst Du auf den Widerspruch.

Im Übrigen hàttest Du das noch weiterführen können:
" 1 = exp (-2*pi) = exp (2*pi) = exp(-4*i) = exp(4*i) = ..."

Vermutlich gibt es eine einfachere Erlàuterung, aber es hat alles damit
zu tun, daß beim complexen Logarithmus die Eindeutigkeit flöten geht.

mfg
Andreas

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