Ueberdeckung der rationalen Zahlen

07/06/2011 - 09:40 von Jürgen R. | Report spam
Es sei {r_n}, n = 1, 2, ..., eine beliebige Abzàhlung
der rationalen Zahlen im Intervall (0,1).
(a,b) bedeutet hier und im weiteren das offene
Intervall zwischen a und b.

Es sei ferner
U_n = (r_n - 1/{4^n}, r_n + 1/{4^n}) \cap (0,1),

und daher U = Sum {U_n} eine offene Überdeckung der
rationalen Zahlen in (0,1). Das Lebesgue´sche
Maß von U ist < 1/3.

Es sei x_0 = 1/3 und
x_{n+1} = Min{ y | y >= x_n, y im Komplement von U_n }.

Dann ist {x_n} eine nicht abnehmende Cauchy-Folge und
x = lim_n {x_n} liegt in (0,1).

Es ist nun ganz leicht zu beweisen, dass
1) x irrational ist und
2) x nicht in U liegen kann

Zu 1): Wàre x rational, so wàre für ein bestimmtes m
x = r_m. Daher enthielte U_m ein Element x_k der
Cauchy-Folge. Aber das hieße x_m > x.
Aus der Konstruktion folgt aber x >= x_n für
alle n.

Zu 2): Wàre x in U, so wàre x in U_m für irgendein m.
Genau wie oben ergibt sich daraus ein Widerspruch, denn
mindestens für jedes k > m muss dann
x_k rechts von U_m liegen.

Dies gilt für *jede* Abzàhlung der rationalen
Zahlen. Ist diese Abzàhlung konkret gegeben,
etwa durch eine explizite Zuordnung Q <-> N,
also "konstruierbar", dann sind auch derartige
Cauchy-Folgen "konstruierbar".
 

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#1 WM
07/06/2011 - 10:28 | Warnen spam
On 7 Jun., 09:40, Jürgen R. wrote:

Dies gilt für *jede* Abzàhlung der rationalen
Zahlen. Ist diese Abzàhlung konkret gegeben,
etwa durch eine explizite Zuordnung Q <-> N,
also "konstruierbar", dann sind auch derartige
Cauchy-Folgen "konstruierbar".



Na dann konstruiere mal.

Übrigens hast Du gerade mit der 83. Variante an Rainers Problem
vorbeigedacht. Ich gebe hier den Link an, damit sich zukünftige
Problemlöser daran orientieren können und vor allem erkennen, dass es
sich um abgeschlossene Intervalle handelt, zwischen denen eine Lücke
gesucht wird:

==
Recht reizvoll erscheint mir inzwischen die folgende Fragestellung:
Gegeben eine Aufzàhlung der rationalen Punkte zwischen 0 und 1, d.h
aller Brüche p/q mit natürlichen p und q und p < q. Bestimme dazu
einen nicht überdeckten Punkt. Zum Überdecken werden die
abgeschlossenen Intervalle [P_n,P_n+1/2^n] verwendet.

Insbesondere interessiert mich die Überdeckung, die aus der
Cantorschen Zick-Zack-Aufzàhlung der rationalen Zahlen hervorgeht:
welcher Punkt des Intervalls (0,1) wird von ihr nicht überdeckt?

=
http://groups.google.com/group/de.s...ing=d&

http://groups.google.com/group/de.s...ode=source

Gruß, WM

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