Umkehrabbildung einer Verkettung beliebiger ein- oder mehrstelliger Abbildungen endlicher Tiefe?

25/07/2016 - 22:06 von IV | Report spam
Hallo,

eine Abbildung F mit x \mapsto F(x) sei aus einer Variablen x durch endlich
viele Verkettungen (Kompositionen) beliebiger ein- oder mehrstelliger
Abbildungen entstanden.

1.)
Gibt es für solcherart Abbildungen F einen mathematischen Fachbegriff?

2.)
Wie könnte man F formelmàßig darstellen? Die beliebige Schachtelungstiefe
macht mir Schwierigkeiten bei der formelmàßigen Darstellung.
Oder wàre eine rekursive Darstellung besser?

3.)
Ist die Umkehrabbildung Phi von F, mit Phi(F(x)) = F(Phi(x)) = x, die
Verkettung der Umkehrabbildungen der einzelnen ursprünglichen Abbildungen in
der umgekehrten Reihenfolge?
Wenn ja, wie kann man das beweisen?
Gibt es Vereinfachungen, wenn F(x) einwertig ist, x und F(x) reell oder
komplex sind, alle Abbildungen analytisch sind, oder alle Abbildungen stetig
sind?

4.)
Sei eine Gleichung F(x) = 0 gegeben. Sind dann alle Lösungen dieser
Gleichung durch x = Phi(0) gegeben?
Wenn ja, wie kann man das beweisen?
Gibt es Vereinfachungen, wenn F(x) einwertig ist, x und F(x) reell oder
komplex sind, alle Abbildungen analytisch sind, oder alle Abbildungen stetig
sind?

Danke.
 

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#1 Detlef Müller
26/07/2016 - 12:30 | Warnen spam
Am 25.07.2016 um 22:06 schrieb IV:
Hallo,

eine Abbildung F mit x \mapsto F(x) sei aus einer Variablen x durch
endlich viele Verkettungen (Kompositionen) beliebiger ein- oder
mehrstelliger Abbildungen entstanden.

1.)
Gibt es für solcherart Abbildungen F einen mathematischen Fachbegriff?



Verkettung oder Komposition von Abbildungen hat mir immer gereicht.

2.)
Wie könnte man F formelmàßig darstellen? Die beliebige
Schachtelungstiefe macht mir Schwierigkeiten bei der formelmàßigen
Darstellung.



Wenn man Funktionen F_1, ..., F_n und jeweils Bild(F_k) in
D_{F_{k+1}} liegt, wird die Komposition gewöhnlich als "Kette"

F = F_n\circ F_{n-1} \circ ... \circ F_1

geschrieben (\circ ist ein kleiner Kreis), analog zu "+" für
endlich viele Summanden.

Einen abkürzende Schreibweise für eine Kette aus n Funktionen
(analog zum Summenzeichen) wüsste ich gerade keinen Standard,
hierfür könnte man z.B. die Schreibweise für Summen oder Produkte
übernehmen, nur mit einem Dicken Kreis (\bigcirc).

Oder wàre eine rekursive Darstellung besser?



Das wàre die eigentliche Definition der Formel-Darstellung,
die am Anfang des Textes unter "Notationen" gegeben sein
sollte.

3.)
Ist die Umkehrabbildung Phi von F, mit Phi(F(x)) = F(Phi(x)) = x, die
Verkettung der Umkehrabbildungen der einzelnen ursprünglichen
Abbildungen in der umgekehrten Reihenfolge?



Im Normalfall existiert keine Umkehrabbildung.

Für den Speziellen Fall, dass sie existiert, müssen aber
auch die Komponenten-Funktionen der Verkettung

F=F_1 \circ F_2

Nicht umkehrbar sein.
Die Identische Funktion dargestellt als

id = tan \circ \arctan

mag (mit den jeweils maximalen reellen Def-Bereichen)
als Beispiel dienen. Der Arkustangens ist nicht surjektiv,
Der Tangens ist als periodische Funktion "hochgradig" nicht
injektiv.

Bei làngeren Ketten mögen noch andere Effekte eintreten (oder
auch nicht, wàre zu überlegen).

Sind aber alle F_k umkehrbar mit Umkehrfunktion Phi_k, so ist
auch F umkehrbar und die Umkehrfunktion Phi von F ist die Verkettung
Phi_n \circ Phi_{n-1} \circ ... \circ Phi_1

Wenn ja, wie kann man das beweisen?



Per Induktion, die Assoziativitàt von Abbildungen benutzend.
Beispiel: F = F_1 \circ F_2 \circ F_3

F \circ Phi_3 \circ Phi_2 \circ Phi_1 = | Darstellung von F als Kette
=(F_1 \circ F_2 \circ F_3) \circ (Phi_3 \circ Phi_2 \circ Phi_1) )|(1)
=(F_1 \circ F_2) \circ (F_3 \circ Phi_3) \circ (Phi_2 \circ Phi_1) |(2)
=(F_1 \circ F_2) \circ (id) \circ (Phi_2 \circ Phi_1) |(3)
=(F_1 \circ F_2) \circ (Phi_2 \circ Phi_1)
=F_1 \circ (F_2 \circ Phi_2) \circ Phi_1
=F_1 \circ id \circ Phi_1 = F_1\circ Phi_1 = id

Wobei in (1) die Assoziativitàt der Hintereinander Ausführung, in (2)
die Definition der Phi_k als Umkehrabbildung von F_k und in (3) die
definierende Eigenschaft der identischen Abbildung verwendet wurde.
Analog geht es für Phi \circ F.

Allgemein wird man das per Induktion nach n zeigen und z.B. in
F_1\circ ... \circ F_n \circ F_{n+1} einfach
G := F_n \circ F_{n+1} substituieren, dann hat man eine Verkettung
von n+1 Funktionen auf eine von n Funktionen zurück geführt.

Gibt es Vereinfachungen, wenn F(x) einwertig ist, x und F(x) reell oder
komplex sind, alle Abbildungen analytisch sind, oder alle Abbildungen
stetig sind?



Da der Beweis für völlig allgemeine bijektive Abbildungen wirklich
sehr einfach ist, kann ich mir das nicht vorstellen.

4.)
Sei eine Gleichung F(x) = 0 gegeben. Sind dann alle Lösungen dieser
Gleichung durch x = Phi(0) gegeben?



Ja.

Wenn ja, wie kann man das beweisen?



Das ist trivial, denn es Teil der Definition der Umkehrabbildung,
also ein Spezialfall der definierenden Bedingung

Es gilt (1) F(D_f) = D_Phi und D_F = Phi(D_Phi)
und (2) Für alle x aus D_f gilt F(x) = y <=> x = Phi(y)
und (3) Für alle y aus D_Phi gilt Phi(y) = x <=> y = F(x),

wovon hier nur (2) und nur y=0 verwendet wird.
Implizit wird 0 in D_f voraus gesetzt (da ja Phi(0) da steht).

Beachte, dass ich "trivial" nicht in einem wertenden Sinne
verwende, sondern wie in "das ist oBdA trivial" von Beutelspacher
definiert, als das es direkt in der Definition steht.
Die Arbeit, den richtigen Teil der Definition zu finden und
evtl. welcher Spezialfall davon vor liegt, kann durchaus nicht
sofort einsichtig sein.
Eine der vielen Anekdoten über Hilbert lautet, dass er, nachdem in
einem Vortrag behauptet wurde, eine Aussage sei trivial, den Raum
verlassen hat um darüber zu Grübeln - nach einiger Zeit kam er
dann wieder herein und sagte "Stimmt, es ist trivial."

Gibt es Vereinfachungen, wenn F(x) einwertig ist, x und F(x) reell oder
komplex sind, alle Abbildungen analytisch sind, oder alle Abbildungen
stetig sind?



Einfacher als trivial kann ich mir nicht vorstellen.

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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