Umkehrfunktion einer Linearkombination von Funktionen als Linearkombination der Umkehrfunktionen?

09/02/2010 - 09:51 von Lars Schummer | Report spam
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem für das ich keine geschlossene Lösung finde:

Gegeben seien n beliebige stetige, monoton steigende Funktionen f_1(x),
f_2(x), ..., f_n(x) und die jeweiligen Umkehrfunktionen f_1^{-1}(y), ...
f_n^{-1}(y)

Die Funtkion f(x) ist definiert als Linearkombination
f(x) = a_1 * f_1(x) + a_2 * f_2(x) + ... + a_n * f_n(x)

Das Problem besteht nun darin die Umkehrfunktion f^{-1}(y) als
Linearkombination der einzelnen Umkehrfunktionen darzustellen, d.h.
f^{-1}(y) ?= b_1 * f_1^{-1}(y) + b_2 * f_2^{-1}(y) + ... + b_n * f_n^{-1}(y)

Interessiert bin ich an den Faktoren b_1, ... b_n

Da ich das ganze in einer numerischen Berechnung benötige ist mein
bisheriger Ansatz f(x) zu bestimmen, numerisch zu invertieren und die
Inverse als Polynom anzunàhern, und dann an n Stützstellen ein
Gleichungssystem aufzustellen, welches mir die b_i liefert. Allerdings
finde ich diese Herangehensweise nicht sonderlich elegant, weshalb ich
nach einer geschlossenen Lösung suche, falls eine existiert? Meine
bisherigen Recherchen haben mich leider nicht weitergebracht und ich
konnte nichts Ähnliches finden. Kennt einer einen Ansatz oder könnte mir
einen Tip geben wo ich entsprechendes nachlesen könnte?

Gruß,
 

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#1 karl
09/02/2010 - 10:02 | Warnen spam
Lars Schummer schrieb:
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem für das ich keine geschlossene Lösung finde:

Gegeben seien n beliebige stetige, monoton steigende Funktionen f_1(x),
f_2(x), ..., f_n(x) und die jeweiligen Umkehrfunktionen f_1^{-1}(y), ...
f_n^{-1}(y)

Die Funtkion f(x) ist definiert als Linearkombination
f(x) = a_1 * f_1(x) + a_2 * f_2(x) + ... + a_n * f_n(x)

Das Problem besteht nun darin die Umkehrfunktion f^{-1}(y) als
Linearkombination der einzelnen Umkehrfunktionen darzustellen, d.h.
f^{-1}(y) ?= b_1 * f_1^{-1}(y) + b_2 * f_2^{-1}(y) + ... + b_n * f_n^{-1}(y)

Interessiert bin ich an den Faktoren b_1, ... b_n

Da ich das ganze in einer numerischen Berechnung benötige ist mein
bisheriger Ansatz f(x) zu bestimmen, numerisch zu invertieren und die
Inverse als Polynom anzunàhern, und dann an n Stützstellen ein
Gleichungssystem aufzustellen, welches mir die b_i liefert. Allerdings
finde ich diese Herangehensweise nicht sonderlich elegant, weshalb ich
nach einer geschlossenen Lösung suche, falls eine existiert? Meine
bisherigen Recherchen haben mich leider nicht weitergebracht und ich
konnte nichts Ähnliches finden. Kennt einer einen Ansatz oder könnte mir
einen Tip geben wo ich entsprechendes nachlesen könnte?

Gruß,



Geht das z.B. mit f(x) = x + x^2 ?
So weit ich sehe, nicht.

Ciao

Karl

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