Umkehrfunktionen Elementarer Funktionen?

07/02/2015 - 15:32 von IV | Report spam
Hallo,

unter Elementaren Funktionen will ich hier die Funktionen entsprechend der
Definition in http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function verstehen,
nicht die in der deutschsprachigen Wikipedia. In "Gleichung lösen" haben wir
hier gerade gesehen, wie die Lambertsche W-Funktion, die Umkehrfunktion der
Funktion f mit f(x) = x*e^x, zur Auflösung von Gleichungen Elementarer
Funktionen, die sich nicht allein durch die Umkehrung von +, -, *, / und
Elementaren Standardfunktionen lösen lassen, verwendet werden kann.
Welche weiteren Speziellen Funktionen, die Umkehrfunktion einer Elementaren
Funktion und selber keine Elementare Funktion sind, sind noch bekannt?
Danke.
 

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#1 Detlef Müller
08/02/2015 - 13:06 | Warnen spam
On 07.02.2015 15:32, IV wrote:
Hallo,

unter Elementaren Funktionen will ich hier die Funktionen entsprechend
der Definition in http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function
verstehen, nicht die in der deutschsprachigen Wikipedia.




Die gegebenen Definitionen stimmen ja überein.

Was das zusàtzliche "Gequatsche" in der deutschen Seite soll,
ist mir schleierhaft.
Wenn es mehrere Definitionen gibt, kann man sie aufzàhlen.
Wenn sich eine als allgemein anerkannt eingebürgert hat (und
ich kenne keine andere ernsthafte Definition als die gegebene),
bringt man die und fertig.

In "Gleichung
lösen" haben wir hier gerade gesehen, wie die Lambertsche W-Funktion,
die Umkehrfunktion der Funktion f mit f(x) = x*e^x, zur Auflösung von
Gleichungen Elementarer Funktionen, die sich nicht allein durch die
Umkehrung von +, -, *, / und Elementaren Standardfunktionen lösen
lassen, verwendet werden kann.
Welche weiteren Speziellen Funktionen, die Umkehrfunktion einer
Elementaren Funktion und selber keine Elementare Funktion sind, sind
noch bekannt?



Das ist eine àhnliche Fragestellung wie die danach, welche
Funktionen Integrale elementarer Funktionen sind, selbst aber
nicht elementar sind.

Hierfür ist ja gezeigt, daß, so oft man die Menge der elementaren
Funktionen um Integrale von Funktionen erweitert, man nie fertig
wird. Durch sukzessives erweitern des Funktionenraums (startend
mit den elementaren Funktionen) erhàlt man also niemals einen
Raum F, in dem endlich alle Stammfunktionen von Funktionen aus F
wieder in F liegen.

So ist eine Auflistung aller Integralfunktionen nicht möglich und
auch nicht wirklich interessant, da man ja nie zum Ende kommt.

Für hàufig benutzte Integralen, wie dem von e^(x^2) oder sin(x)/x
denkt man sich dann Namen aus, damit man etwas über die Taste auf
dem Taschenrechner schreiben kann, der das ausrechnet.

Was mich nun nicht wundern würde, wàre, wenn es ganz àhnliche
Überlegungen für die Umkehrfunktionen gàbe.

Überraschen würde mich hingegen, wenn man mit endlich vielen
Erweiterungen die Menge der elementaren Funktionen so zu einem
Funktionenraum F erweitern könnte, daß mit f aus F umkehrbar automatisch
auch die Umkehrfunktion f^(-1) von f in F liegt.

Wenn das so ist, wie ich es vermute, dann ist es müßig nun die
Namen zu sammeln, die sich Leute für diverse Umkehrfunktionen
ausgedacht haben.

Vielleicht kann man für die zuvor erwàhnten "neuen"
Integralfunktionen wie Si (Integral von sin(x)/x )
Funktionalgleichungen sammeln damit diese Funktionen
als Umkehrfunktion charakterisieren ...

Gruß,
Detlef


Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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