Und immer wieder der Wasserstoff

07/04/2011 - 18:13 von Gerry Kleber | Report spam
Lösung der Schrödinger-Gleichung (Wasserstoffproblem) [Bearbeiten]
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung (eine partielle
Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der
elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhàngige Gleichungen
separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch
exakt gelöst werden.

Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustànde und Energiewerte
des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen
diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als En zu
bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E1, die weiteren
Anregungszustànde sind E2 und E3.

Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhàngigkeit
(Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).

Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme,
die sich exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung
für das Wasserstoffatom ist auch deshalb ein Standardverfahren der
universitàren Physik- und Chemieausbildung und wird auch als
Wasserstoffproblem bezeichnet.

Mathematische Details [Bearbeiten]

verschiedene Orbitale des WasserstoffsDie Separation der Schrödinger-
Gleichung führt zu drei Gleichungen, die von jeweils einer der drei
Kugelkoordinaten (Abstand vom Mittelpunkt), (Breitenwinkel) und
(Làngenwinkel) abhàngen. Eine vollstàndige Lösung ergibt sich als das
Produkt der Lösungen dieser 3 Gleichungen.

Jede Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom wird
durch die drei Zahlen , Quantenzahlen genannt, gekennzeichnet. Dabei
ist die Haupt- oder Energiequantenzahl eine beliebige positive Zahl,
die Drehimpulsquantenzahl nimmt für gegebenes die Werte von 0 bis n
− 1 an, und die magnetische Quantenzahl làuft für gegebenes von − l
bis + l. Die Lösungsfunktion ist dann


mit


(a0 ist der Bohrsche Radius);
sind die zugeordneten Laguerre-Polynome;
sind die Kugelflàchenfunktionen.
Für die niedrigsten Orbitale ergibt sich damit:


Die Energieeigenwerte sind


.
Hierin ist α die Feinstrukturkonstante und mr die reduzierte Masse des
Systems aus Elektron und Proton. Die Drehimpuls- und magnetischen
Eigenwerte sind durch


und


gegeben.

Die Drehimpulsquantenzahl misst hierbei den Bahndrehimpuls des
Elektrons, und die magnetische Quantenzahl seine Projektion auf eine
beliebige Richtung, die im Allgemeinen als z bezeichnet wird (z steht
dabei für die z-Achse). In dieser einfachsten Behandlung des
Wasserstoffatoms sind die Energiewerte nur von der Hauptquantenzahl
abhàngig. Alle Lösungen mit gleichem besitzen hier die gleiche
Energie. Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich der
Quantenzahlen und . Die Entartung bezüglich ist dabei eine
Besonderheit von (-a/r)-Potentialen.

Unter Berücksichtigung weiterer Effekte (Spin, Relativitàtstheorie)
ergibt sich eine zusàtzliche Aufhebung der Energieentartung.

Alternativen zur Schrödinger-Theorie [Bearbeiten]
In der heisenbergschen Matrizenmechanik hat Wolfgang Pauli für das
Wasserstoffatom erstmals eine Lösung gefunden[1], indem er die
Rotationssymmetrie in vier Dimensionen (O(4)-Symmetrie) ausnutzte, die
vom Drehimpuls und dem Laplace-Runge-Lenz-Vektor erzeugt wird. Durch
Erweiterung der Symmetriegruppe O(4) zur Dynamischen Symmetriegruppe
O(4,2) konnten nicht nur das Spektrum, sondern auch die Dipol-
Matrixelemente für alle atomaren Übergànge in einer irreduziblen
Gruppendarstellung vereint werden.[2]

Im Jahre 1979 gelang auch eine Lösung für das Wasserstoffatom in
Feynmans Pfadintegral-Zugang zur Quantenmechanik[3][4]. Durch die hier
entwickelte Lösungsmethode wurde der Anwendungsbereich der
Feynmanschen Methode erheblich erweitert.
 

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#1 Gerry Kleber
07/04/2011 - 21:48 | Warnen spam
On 7 Apr., 18:13, Gerry Kleber wrote:
Lösung der Schrödinger-Gleichung (Wasserstoffproblem) [Bearbeiten]
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung (eine partielle
Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der
elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhàngige Gleichungen
separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch
exakt gelöst werden.

Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustànde und Energiewerte
des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen
diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als En zu
bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E1, die weiteren
Anregungszustànde sind E2 und E3.

Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhàngigkeit
(Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).

Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme,
die sich exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung
für das Wasserstoffatom ist auch deshalb ein Standardverfahren der
universitàren Physik- und Chemieausbildung und wird auch als
Wasserstoffproblem bezeichnet.

Mathematische Details [Bearbeiten]

verschiedene Orbitale des WasserstoffsDie Separation der Schrödinger-
Gleichung führt zu drei Gleichungen, die von jeweils einer der drei
Kugelkoordinaten  (Abstand vom Mittelpunkt),  (Breitenwinkel) und
(Làngenwinkel) abhàngen. Eine vollstàndige Lösung ergibt sich als das
Produkt der Lösungen dieser 3 Gleichungen.

Jede Lösung  der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom wird
durch die drei Zahlen , Quantenzahlen genannt, gekennzeichnet. Dabei
ist die Haupt- oder Energiequantenzahl  eine beliebige positive Zahl,
die Drehimpulsquantenzahl  nimmt für gegebenes  die Werte von 0 bis n
− 1 an, und die magnetische Quantenzahl  làuft für gegebenes  von − l
bis + l. Die Lösungsfunktion ist dann

mit

 (a0 ist der Bohrsche Radius);
 sind die zugeordneten Laguerre-Polynome;
 sind die Kugelflàchenfunktionen.
Für die niedrigsten Orbitale ergibt sich damit:

Die Energieeigenwerte sind

.
Hierin ist α die Feinstrukturkonstante und mr die reduzierte Masse des
Systems aus Elektron und Proton. Die Drehimpuls- und magnetischen
Eigenwerte sind durch

und

gegeben.

Die Drehimpulsquantenzahl misst hierbei den Bahndrehimpuls des
Elektrons, und die magnetische Quantenzahl seine Projektion auf eine
beliebige Richtung, die im Allgemeinen als z bezeichnet wird (z steht
dabei für die z-Achse). In dieser einfachsten Behandlung des
Wasserstoffatoms sind die Energiewerte nur von der Hauptquantenzahl
abhàngig. Alle Lösungen mit gleichem  besitzen hier die gleiche
Energie. Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich der
Quantenzahlen  und . Die Entartung bezüglich  ist dabei eine
Besonderheit von (-a/r)-Potentialen.

Unter Berücksichtigung weiterer Effekte (Spin, Relativitàtstheorie)
ergibt sich eine zusàtzliche Aufhebung der Energieentartung.

Alternativen zur Schrödinger-Theorie [Bearbeiten]
In der heisenbergschen Matrizenmechanik hat Wolfgang Pauli für das
Wasserstoffatom erstmals eine Lösung gefunden[1], indem er die
Rotationssymmetrie in vier Dimensionen (O(4)-Symmetrie) ausnutzte, die
vom Drehimpuls und dem Laplace-Runge-Lenz-Vektor erzeugt wird. Durch
Erweiterung der Symmetriegruppe O(4) zur Dynamischen Symmetriegruppe
O(4,2) konnten nicht nur das Spektrum, sondern auch die Dipol-
Matrixelemente für alle atomaren Übergànge in einer irreduziblen
Gruppendarstellung vereint werden.[2]

Im Jahre 1979 gelang auch eine Lösung für das Wasserstoffatom in
Feynmans Pfadintegral-Zugang zur Quantenmechanik[3][4]. Durch die hier
entwickelte Lösungsmethode wurde der Anwendungsbereich der
Feynmanschen Methode erheblich erweitert.





Kurz : Niels meint das Orbital um H ist e hoch 4 / h quer Quadrat
dick !

Stimmt das ?

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